GABARITO: LETRA B;
Considere “a” e “b” números reais positivos.O número “a” deve ser diferente de zero. O número “b” deve ser diferente de zero e diferente de 1.
Resumo: (a ≠ 0; b ≠ 0 e b≠ 1)
Chama-se logaritmo de a na base b, o expoente x tal que:
log b ^ a = x ----- a^x = b
Na sentença acima, temos:
- Logaritmando: a
- Base do logaritmo: b
- Logaritmo de a na base b: x
Após esse breve resumo, vamos voltar à questão...
Para resolvê-la, precisamos utilizar as seguintes propriedades dos logaritmos:
Propriedade: Logaritmo do produto.
Todo logaritmo do tipo log b ^ (x. y) pode ser resolvido, somando-se o logaritmo de x na base “b” ao logaritmo de y na base “b”. De uma maneira genérica, fica assim:
log b ^(x . y) = log b^x + log b^y
Observe agora um exemplo para melhor compreensão:
Exemplo: log 5 ^ (25 . 125) = log 5^25 + log 5^125 = 2 + 3 = 5
Observe que, nesse exemplo, fizemos as seguintes leituras:
1) log 5^25 - Qual número devemos elevar a base 5 para obtermos como resultado 25?
2) log 5^125 - Qual número devemos elevar a base 5 para obtermos como resultado 125?
Obviamente que 5^2 = 25 e 5^3 = 125. Por isso que tivemos como solução a soma: 2 + 3 = 5
Propriedade: Logaritmo de uma potência.
Sempre que um logaritmo estiver elevado a um determinado expoente, devemos “pegar” esse expoente e multiplicá-lo pelo referido logaritmo. Veja:
log b x^n = n . log b^x
Exemplo: log 3 81^2 = 2 . log 3 ^81 = 2 . 4 = 8
Observe que, nesse exemplo, o expoente 2 multiplicou a sentença log 3 ^81. Depois disso, fizemos a seguinte leitura.
Qual número devemos elevar a base 3 para obtermos como resultado 81?
Obviamente que 3^4 = 81. Por isso que tivemos como solução o produto 2 . 4 = 8
Propriedade: Logaritmo de uma raiz.
Essa propriedade possui relação com a propriedade supracitada. Veja o exemplo:
Exemplo: A raiz cúbica de 64 ( pode ser corretamente reescrita da seguinte maneira: 64elevado a 1/3 = 64 ^ 1/3
A partir desses entendimentos, podemos resolver a questão. Vamos lá...
log 12 = log 12^1/3 ---- Agora, basta aplicar o que aprendemos na propriedade do Logaritmo de uma potência. Veja:
Temos log 12^1/3. Como o logaritmo está elevado a uma potência, precisamos multiplicar essa potência pelo logaritmo. Vai ficar assim:
log 12^1/3 = 1/3 . log 12 ----- Sabemos que 12 decomposto em fatores primos equivale a 4 x 3, logo temos:
log 12^1/3 = 1/3 . log (4 x 3) ---- Aqui aplicaremos a propriedade do produto
log 12^1/3 = 1/3 . (log 4 + log 3) = 1/3 . (log 2^2 + log 3) = 1/3 . [ 2 . log 2 + log 3)
Nesse momento, precisamos substituir os valores aproximados de log 2 e de log 3. Veja:
log 12^1/3 = 1/3 . [ 2 . 0,30 + 0,48)] = 1/3 .[ 0,60 + 0,48] = 1/3 .[1,08] = 0,36