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a= 1; b= -12; c= k-2
Soma das raízes = -b/a -> -(-12)/1 = 12
Produto das raízes = c/a -> k-2/1 = 38-2/1 = 36 ---> nesse ponto pode-se utilizar as respostas por tentativa e erro
As raízes são: 6 e 6, pois 6+6 = 12 e 6*6 = 36
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x^2-12x+(k-2)=0
x= (-b +- Vb^2-4ac)/2a
x= (12 +- V144-4.1.(k-2))/2
x= (12+-V144-4k+8)/2
x= (12+-V152-4k)/2 -> Pensando em um número que multiplicado por 4 seja igual a 152 para fazer com que a raíz seja 0 -> 38
x= (12+-V152-152)/2
x"= (12+0)/2 = 6
x'= (12-0)/2 = 6
x'-x" = 0
6-6 = 0
Portanto, o valor de K é 38.
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Dada a equação x2 – 12x + (k – 2) = 0, o valor de k para que a diferença das raízes seja 0, é:
Relembrando que Δ = b² - 4ac, e quando:
Δ > 0 -Neste caso, teremos duas raízes reais e distintas;
Δ = 0 -Neste caso, teremos duas raízes reais e iguais (em alguns lugares dirão que só haverá uma raiz real);
Δ < 0 -Neste caso, não haverá raízes reais.
Ou seja, a questão quer saber qual o valor de k quando delta Δ = 0, pois assim teremos raízes iguais e a diferença delas será 0
Δ = 0
b² - 4ac = 0
(-12)² - [4.(1).(k - 2)] = 0
144 - (4k - 8) = 0
144 - 4k + 8 = 0
-4k = -152 --> x (-1)
4k = 152
k = 152/4
k = 38
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Fiz testando as respostas e felizmente a primeira era a correta. Se as raízes são x'=6 e x''=6 (por soma e produto é mais prático, vide explicação do Rafael), a diferença entre elas é 0: 6-6=0.
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___+____= -12
-6+6=-12
6.6= 36
k-2=36
k=36+2
k= 38
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Soma = -b/a = -(-12)/1 = 12.
O exercício fala que os número subtraídos dão 0, ou seja, só podem ser o mesmo número.
Que número somado a ele mesmo dá 12? O 6!
Logo, uma vez que sabemos que as raízes são 6, o produto delas é 36.
Assim, k - 2 = 36.
k = 38.
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Utilizando as fórmulas (SOMA e PRODUTO) e a informação dada no enunciado, temos:
Equação x² - 12x + (k-2) = 0
I) x' + x" = -b/a (SOMA)
II) x'.x" = c/a (PRODUTO)
III) x' - x' = 0 (o valor de k para que a diferença das raízes seja 0)
Substituindo os valores:
a = 1 | b = -12 | c = (k-2)
I) x' + x" = - (-12)/1 -> x' + x" = 12 -> colocando em função de x' temos:
x" = 12 - x'
Substituindo x" na equação III:
x' - (12-x') = 0
x' = 6
Voltamos para equação I e achamos x":
x" = 12 - x'
x" = 6
Substituindo x' e x" na equação II para achar o valor de K:
x'.x" = c/a
6.6 = (k - 2)
k=38
Resposta ->LETRA A