Questão Q7398

Texto V - questões 13 e 14

Preparando-se para custear as despesas com a educação dos seus filhos, Carlos decidiu abrir uma poupança programada para 120 meses de duração, com rendimento mensal de 1%, em que os depósitos devem ser feitos no primeiro dia de cada mês. O valor d(k), em reais, do depósito a ser efetuado nessa poupança no k-ésimo mês obedece às seguintes regras:

. d(k) = 100, para k = 1, 2, ... , 12;
. d(k + 12) - d(k) = 100, para k > 1.

Com base nas informações do texto V, julgue os itens abaixo.

Se M(j) é o total a ser depositado por Carlos no ano j, na poupança mencionada no texto, então os valores M(1), M(2), ..., M(10) formam, nessa ordem, uma progressão aritmética.

Alternativas

Certo

Errado

Comentários

Substitua o valor de k por 1,13,25... na segunda expressão e você observará uma PA anual com razão igual a 100.A escolha dos valores 1,13,25 deve-se ao fato desses valores iniciarem um novo ano, uma vez que "j" em "M(j)" corresponde a anos e "k" em "d(k)" a dias.Durante o cada ano o valor não é alterado por força da constância imposta na primeira expressão: d(1)=d(2)=d(3)=...=d(12)
RESOLUÇÃO: (Apresentada pelo Professor Vilson Cortez, com complementação)4) Dada uma nova função onde M(j) é o total a ser depositado por Carlos no ano j, logo M(1), M(2), ..., M(10) formam uma Progressão Aritmética (PA).Lembrando que a Progressão Aritmética é uma seqüência numérica muito especial onde existe uma relação entre todos os seus termos, a saber:Termo anterior = termo posterior + razão, a razão é um valor constante.Por exemplo:2 4 6 8 10 é uma PA onde a razão é 2:Termo posterior = termo anterior + 2Repare:4 – 2 = 6 – 4 = 8 – 6 = 10 – 8 = razão = 2Analisando a função:M(1) = total a ser depositado por Carlos no ano 1 = d(1) + d(2) + d(3) + d(4) + d(5) + d(6) + d(7) + d(8) + d(9) + d(10) + d(11) + d(12) = soma dos depósitos nos primeiros 12 meses = 12 . 100 = 1200Dado da questão: d(k + 12) – d(k) = 100, para k ? 1.d(13) = d(01+12) – d(01) = 100d(13) = 100 + d(01) = 100 + 100 = 200, entãoM(2) = total a ser depositado por Carlos no ano 2 = d(13) + d(14) + d(15) + d(16) + d(17) + d(18) + d(19) + d(20) + d(21) + d(22) + d(23) + d(24) = soma dos depósitos nos próximos 12 meses = 12 . 200 = 2400Logo:M(3) = 3600M(4) = 4800M(5) = 6000M(6) = 7200M(7) = 8400M(8) = 9600M(9) = 10800M(10) = 12000Temos uma PA onde a razão é 1200, ou seja, o termo posterior = termo anterior – 1200.A alternativa é CORRETA
Se você prestar atenção, vai perceber que a cada 12 meses será acrescentado 100 na parcela (conforme o ciclo da fórmula d(k + 12) - d(k) = 100, pois K só vai de 1 até 12). Caso você não consiga visualizar, sugiro que teste ou volte aos exemplos anteriores.
12: 100
24: 200
36: 300
48: 400
60: 500
72: 600
84: 700
Sendo assim:
M(1)=100x12=1200
M(2)=200x12=2400
M(3)=300x12=3600
E assim por diante...
Então, conclui-se que é uma P.A. de razão 1200.
Avante!
Se d(k) = 100 quando ele vai para a segunda condição temos que:

d(k +12) - d(k) = 100, então essa regra serve para meses maiores que 12, pois quando k = 1,
d(1 + 12) - d(1) = 100 ==> d(13) - d(1) = 100, d(13) representa o mês 13, ou seja o primeiro mês do segundo ano, e como sabemos que d(1) = 100 da primeira regra, temos que d(13) - 100 = 100.

Logo d(13) = 100 + 100 = 200. Ou seja, a partir do segundo ano os valores depositados mensalmente serão 100 a mais que o primeiro, se você verificar para os anos seguintes verá que a cada ano 100 a mais será incrementado para o mês.

Terceiro ano:

d(13 + 12) - d(13) = d(25) - d(13) = 100, d(25) - 200 [pois d(13) = 200] = 100, logo, d(25) = 300.

Como os colegas acima já colocaram, sabendo o valor depositado mensalmente, você pode multiplicar pelos meses e assim terá os valores anuais, respectivamente 1200, 2400, 3600 e assim por diante. Logo, uma progressão aritmética de razão de 1200. a1 = 1200, a2 = a1 + razão, a3 = a2 + razão. a1 = 1200, a2 = 1200 + 1200 = 2400 ...

Valeu!!

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