Questão 22216

• Banca: CESPE / CEBRASPE
• Órgão: Banco do Brasil
• Ano: 2003
• Provas: CESPE / CEBRASPE - 2003 - Banco do Brasil - Escriturário - 001
• Disciplina: Raciocínio Lógico
• Assuntos: Raciocínio Matemático

Texto V - questões 13 e 14

Preparando-se para custear as despesas com a educação dos seus filhos, Carlos decidiu abrir uma poupança programada para 120 meses de duração, com rendimento mensal de 1%, em que os depósitos devem ser feitos no primeiro dia de cada mês. O valor d(k), em reais, do depósito a ser efetuado nessa poupança no k-ésimo mês obedece às seguintes regras:

. d(k) = 100, para k = 1, 2, ... , 12;
. d(k + 12) - d(k) = 100, para k > 1. 

 Considerando as informações do texto V e representando por S(k) o saldo, em reais, existente na poupança de Carlos por ocasião da realização do k-ésimo depósito (incluindo esse último depósito), julgue os itens subseqüentes.

Se M = 100 × (1,01¹² - 1), então S(25) = 300 + 101M × 1,01¹² + 202M.

• C. Certo
• E. Errado

Gabarito: C

Comentários

• Vou tentar explicar (não é fácil).
  Primeiro, você deve verificar que o sujeito deposita todo mês uma certa quantia:
  * d(k) = 100, para k = 1, 2, ... , 12; 
  * d(k + 12) - d(k) = 100, para k > 1
  1º mes, deposita 100
  2º mês deposita 100, assim vai até 12.
  repara que a partir do 13º mês, deposita 200 => 
  d(k + 12) - d(k) = 100
  d(1 + 12) - d(1) = 100
  d(13) = d(1) + 100
  d(13) = 100+100= 200
  
  mesmo raciocício para 14º mês
  d(k + 12) - d(k) = 100
  d(2 + 12) - d(2) = 100
  d(14) = d(2) + 100
  d(14) = 100+100= 200
  
  Muda novamente a partir do 25º mês
  d(k + 12) - d(k) = 100
  d(13 + 12) - d(13) = 100
  d(25) = d(13) + 100
  d(25) = 200+100= 300
  
  Então, vamos calcular esse montante, correndo sempre, além do depósito mensal, juros de 1% por mês,
  ATENÇÃO: se o juros é de 1%, isso quer dizer que o total pode ser expresso multiplicando o valor que se tem por 1,01, já que seria 100% + 1%, ou seja, 1,01.
  
  1º mês => 100
  2º mês=> 100 + 100*1,01 [mês anterior*1,01]
  3º mês => 100 + 100*1,01 + 100*1,01^2 [mês anterior*1,01]
  repara que a sequencia dos 12 meses é a soma de uma PG, cujo 1º termo é 100, q=1,01, n=12
  S= a1* (q^n -1) / q-1 => 100.(1,01^12 -1)/0,01
  Pelos dados do problema, essa soma é M/0,01
  
  A partir do 13º Mês, o depósito é de 200:
  13º mês=> 200 + M/0,01 * 1,01
  14º mês=> 200 + 200*1,01 + M/0,01 * 1,01^2
  A sequencia até o 24º mês pode ser lida em 2 partes.
  A primeira é a soma de uma PG, cujo 1º termo é 200, q=1,01, n=12, ou seja, S= a1* (q^n -1) / q-1 => 200.(1,01^12 -1)/0,01
  O segundo termo, seguindo a sequência, seria M/0,01 * 1,01^12
  
  O saldo acumulado é 
  200.(1,01^12 -1)/0,01  + M/0,01 * 1,01^12
  2M/0,01 + M/0,01 * 1,01^12
  
  UFA!!! Agora é só perceber que, no 25º mês, o depósito será 300, com o juros de 1,01
  
  S(25) = 300 + 1,01* (2M/0,01 + M/0,01 * 1,01^12)
  S(25) = 300 + 202M + 101M* 1,01^12
  (ASSERTIVA CORRETA)