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Cálculo do capital C1 cujo montante aplicado em 1 ano (4 períodos) é igual a M1 =10.000:
M1 = C1*(1 + n*i)
10.000 = C1*(1 + 4*0,0625)
=> C1 = 8.000
Cálculo do capital C2 cujo montante aplicado em 4 anos (16 períodos) é igual a M2 =10.000:
M2 = C2*(1 + n*i)
10.000 = C2*(1 + 16*0,0625)
=> C1 = 5.000
Total = C1 + C2 = 13.000,00
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Questão parece ser difícil, mas não é! fórmulas: M = C + J J = C . I . T I: M=10000 t= 1 ano i =6,25%a.t. >> 6,25x4=25%a.a. J=Cit >> M - C = Cit >> 10000-C=Cx0,25x1 >> C = 8000 II: M=10000 t= 4 anos i=6,25%a.t.=25%a.a. J=Cit >> 10000-C=Cx0,25x4 >> C=5000 C1 +C2 = 8000+5000 = 13000
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A formula do Rodrigo não esta correta, pois ele esta multiplicando 10.000 por (1 + 4*0,0625), e o resultado disso é 12.500.
O correto seria dividir 10.000 / (1 + 4*0,0625).
Ou seja; 10.000 / 1,25 = 8.000
E a segunda conta; 10.000 = C2 / (1 + 16*0,0625)
10.000 / 2 = 5.000
RESULTADO 5.000 + 8.000 = 13.000
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Seja C o valor inicialmente aplicado pelo investidor. Após um ano (t = 4 trimestres), sabendo que esta aplicação rende juros simples de j = 6,25% ao trimestre, temos o montante:
M = C x (1 + 6,25% x 4)
M = 1,25C
Com a retirada de 10.000 reais no fim do primeiro ano, ficamos com o valor aplicado de:
1,25C – 10.000 reais
Durante os próximos 3 anos (t = 12 trimestres) este valor rende juros à taxa j = 6,25% ao trimestre, chegando ao montante:
M = (1,25C – 10.000) x (1 + 6,25% x 12)
M = (1,25C – 10.000) x 1,75
M = 2,1875C – 17.500
Após a retirada da segunda parcela de 10.000 reais, este montante vai zerar (afinal, a nossa ideia é aplicar o mínimo possível que permita fazer esses dois saques de 10.000 reais). Assim, podemos dizer que o montante acima é de exatamente 10.000 reais, isto é,
10.000 = 2,1875C – 17.500
27.500 = 2,1875C
C = 27.500 / 2,1875
C = 12571,42 reais
Portanto, o mínimo que deve ser aplicado de modo a zerar o saldo após a segunda retirada (no fim do quarto ano) é de 12.571,42 reais. Dentre as opções de resposta, o valor mínimo que deve ser aplicado é o de 13.000 reais.
Resposta: C
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Vocês acertaram dizendo ser 13 mil. Mas não é dessa forma que se faz este tipo de conta.
Digamos que o C é o valor inicialmente aplicado pelo investidor. Após um ano (t = 4 trimestres), sabendo que esta aplicação rende juros simples de j =25% ao ANO, temos o montante:
M = C x (1 + 0,25)
M = 1,25C
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Com a retirada de 10.000 reais no fim do primeiro ano, ficamos com o valor aplicado de:
1,25C – 10.000 reais
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Durante os próximos 3 anos (t = 12 trimestres) este valor rende juros à taxa j = 25% ao ano, chegando ao montante:
M = (1,25C – 10.000) x (1 + 0,25 x 3)
M = (1,25C – 10.000) x 1,75
M = 2,1875C – 17.500
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Após a retirada da segunda parcela de 10.000 reais, este montante vai zerar (afinal, a nossa ideia é aplicar o mínimo possível que permita fazer esses dois saques de 10.000 reais). Assim, podemos dizer que o montante acima é de exatamente 10.000 reais, isto é,
10.000 = 2,1875C – 17.500
27.500 = 2,1875C
C = 27.500 / 2,1875
C = 12571,42 reais
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Portanto, o mínimo que deve ser aplicado de modo a zerar o saldo após a segunda retirada (no fim do quarto ano) é de 12.571,42 reais. Para a sorte de alguns não há essa opção nas alternativas. Dessa forma ficamos com a Letra C.
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Obs: Os 13 mil reais é uma informação errada pq o raciocínio usado pelos colegas é de duas aplicações separadas. Mas a questão não fala de duas aplicações separadas, e sim de "depositar uma certa quantia em um banco". Para terem a real certeza que 13 mil está errado façam a conta com o resultado:
M =13.000 x (1 + 0,25)
M = 16.250 reais -> montante depois de um mês de aplicação da "certa quantia" depositada
16.250 - 10.000 = 6.250 reais -> Valor restante após a retirada dos 10 mil no final do primeiro mês
M = 6.250 x 1,75
M = 10.937,50 -> Valor dos 6.500 restantes investidos durante 3 anos
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Logo, vimos que não fecha os 10 mil... Fecha um valor maior, e não é isso que a questão quer. Esse resultado errado acontece por uma simples má interpretação da questão. Mais importante que saber fórmulas é saber o que a questão quer.
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Eu fiz pela lógica sem utilizar fórmulas:
Se os juros são de 6,25% ao trimestre basta multiplicar por 4 para achar os juros ao ano que dá 25 (6,25*4)
Se o valor total recebido é 10000 com juros de 25% para achar o valor inicial eu fiz 0,25x+x=10000 -> 1,25x=10000
x=10000/1,25 x=8000
o segundo valor eu fiz a mesma coisa: se os juros são 25% ao ano em 4 anos são 100%, se rendendo 100% dá 10000 significa que o capital inicial foi 5000 (deduzindo pela lógica/metade)
por fim: 8000+5000 = 13000
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Se dissermos que a quantia a ser aplicada é x + y, de forma que x será sacado em 1 ano e y após 4 anos, temos que:
Juros em 1 ano: 6,25 x 4 = 25%
Juros em 4 anos: 6,25 x 4 x 4 = 100%
x * (1 + 0,25) = 10.000 => x = 8.000
y * (1 + 1) = 10.000 => y = 5.000
Assim, a quantia a ser aplicada é 8.000 + 5.000 = 13.000. Letra C.
Obs: Não há nenhum problema em separar esses valores, pois é juros simples. A FGV elaborou a questão corretamente e a resposta exata não é 12 mil e pouco.