Achar a reta tangente à parabola pelo coeficiente de inclinação, temos que:
m=tg(ang); m=tg(45)=1;
A Equação da Reta tangente (y=mx+n) se encontra em apenas um ponto com a parabola, então:
-x2 + 3x = 1.x + n;
x2 - 2x + n=0;
Para se encontrar em um único ponto o delta deverá ser zero:
delta=b2-4ac=(-2)^2-4.1.n=0; 4 - 4.n = 0 ; n=1;
O ponto onde se encontram:
x=[-b+-raiz(delta)] / (2a) = [-(-2)+0] / (2.1)=1;
Equação da reta tangente: y=1.x+1; Ponto de encontro da curva e da reta: x=1;
A área é determinada pela integral da função, mas antes precisamos definir os intervalos:
Parabola (definido com y=0) :
-x2+3x=0; x.(-x+3)=0; x=0 ou x=3; Como tem que ser antes do ponto de encontro, escolhemos: x=0;
Intervalo integração parabola: 0 e 1
Reta tangente (definido com y=0):
y=x+1=0; x=-1;
Intervalo integração parabola: -1 e 1
Resolvendo integrais:
Parabola
Integral(-x2+3x)=-1/3.x3+3/2.x; Aplicando o intervalo:
-1/3.(1)^3+3/2.(1)^2-[-1/3.(0)^3+3/2.(0)^2] = 7/6
Reta Tangente:
Integral(x+1)=1/2.x2+x; Aplicando o intervalo:
1/2.(1)^2+(1)-[1/2.(-1)^2+(-1)] = 2
Área:
A área delimitada da região será a área da reta tangente r menos a área da parabola:
2-7/6=(12-7)6= 5/6