Questão Q773304

Um carrinho de controle remoto é inicialmente colocado no ponto O (0, 0) do plano cartesiano e será programado para se deslocar desde O (0, 0) até o ponto B(5, 4) passando obrigatoriamente pelo ponto A (2, 2). Este trajeto OAB será formado por uma sequência de 9 movimentos. Os únicos movimentos permitidos são para direita e para cima, e um de cada vez. Dessa forma, se o carrinho está no ponto (i, j) e faz um movimento para direita, então irá para o ponto (i + 1, j). Mas, se o carrinho está no ponto (i, j) e faz um movimento para cima, então irá para o ponto (i, j + 1). Sendo assim, cada um destes movimentos tem tamanho igual a 1. Sabendo disso, de quantas formas diferentes o carrinho pode fazer o trajeto OAB:

Alternativas

126

512

Comentários

Para resolver essa questão, usaremos a permutação com repetição. Como só podemos nos mover para esquerda ou para cima, quando repetirmos um desses movimentos, ele entrará como repetição na fórmula da permutação com repetição, que é:

n!/a!b!

Se não houvesse a necessidade de se passar pelo ponto (2,2), a resposta seria 126, pois qualquer que seja o caminho, necessariamente teríamos que ir 4x para cima e 5x para a direita, e ficaria assim: 9!/5!4! = 126.

Porém, como temos que passar pelo ponto (2,2), vamos dividir em duas etapas o percurso. Para chegar ao ponto 2,2, andaremos 4 caminhos, e necessariamente 2 vezes para cima e 2 vezes para a direita, e teremos então uma permutação com 2 repetições= 4!/2!2!. Isso resulta em 6.

A partir do ponto 2,2, seguiremos para o destino, (5,4). Nesse caso, teremos mais 5 casas para percorrer, e necessariamente andaremos 3x para a direita e 2x para cima, qualquer que seja a ordem. Teremos então uma permutação com 2 repetições: 5!/3!2!, resultando no valor de 10.

Como temos que passar pelo primeiro caminho E pelo segundo, temos que multiplicar os dois resultados: 6x10 = 60

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