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I - Verdadeira. Uma PA de razão zero será constante e uma PG de razão 1 também será constante.
II - Verdadeira. Ainda não descobri o motivo, mas raciocinei da seguinte forma: Se o 13º termo dessa PG é 2 (elevado a 13) + 1, então o 4º termo será 2 (elevado a 4) + 1. Portanto, 2x2x2x2 + 1 = 17. BATEU!!!!!!! (Se alguém puder dar outra explicação, será de grande ajuda).
III - Falsa. Trata-se de uma PG alternante, e não constante.
IV - Verdadeira. É uma propriedade da PA. Exemplo: PA(1,5,9,13,17,21,25). 1+25 = 26; 26/2 = 13 (Termo central).
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II ) verdadeira
3=2^0+2^1 -> an=2^0+2^n
a2=2^0+2^2=5
a3=2^0+2^3=9
a4=2^0+2^4=17
a13=2^0+2^13
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II é verdadeira porque:
de fato, cada nº apresentado é = (nº anterior x 2) - 1. Calcule.
E, assim tb, os demais serão:
6º = 33x2 - 1 = 65
7º = 65x2 - 1 = 129
8º = 129x2 - 1 = 257
9º = 257x2 - 1 = 513
10º = 513x2 - 1 = 1.025
11º = 1.025x2 - 1 = 2.049
12º = 2.049x2 - 1 = 4.097
13º = 4.097 x 2 - 1 = 8.193 = 2(expoente 13) +1
Obs.: 2(expoente 13) = 8.192
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II) Verdadeira
Eu provei a II de uma forma uma pouco mais complexa e utilizando a informação do enunciado " em que a partir do segundo termo, cada termo é o dobro do anterior subtraído de um " :
considere : n > 2 , x < n
Então a formula dada é :
aₙ=(aₙ₋₁*2)-1
Desenvolvendo com exemplos :
a₁₃=(a₁₂*2) -1 ⇔ a₁₃= ( 2¹a₁₂ ) - ( 2¹ -1 ) →
a₁₃=( 2ˣa₁₂ ) - ( 2ˣ -1 )
a₁₃=(((a₁₁*2)-1)*2 - 1) ⇒
a₁₃=(2*a₁₁ -1 )*2 -1) ⇒ a₁₃=(4*a₁₁ -3 ) ⇒
a₁₃=( 2²a₁₁ ) - ( 2² -1 ) → a₁₃=( 2ˣa₁₁ ) - ( 2ˣ -1 )
Onde x é a diferença entre o enésimo termo e o termo utilizado na fórmula dada, temos:
aₙ=( 2ˣaₙ₋ₓ ) - ( 2ˣ - 1)
Utilizando a fórmula obtemos :
a₁₃=( 2¹²a₁₃₋₁₂ ) - ( 2¹² -1 ) ⇒
a₁₃=3*2¹² -2¹² +1 ⇒
Se um termo negativo não tem o coeficiente representado, então seu coeficiente é -1:
-2¹² = -1*2¹²
a₁₃=3*2 - 1*2¹² +1
colocando o 2¹² em evidencia :
a₁₃=(3-1)*2¹² +1
a₁₃=2*2¹² +1
a₁₃=2¹³ ⁺1
Espero ter ajudado
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Mas o conceito de monótona é outro ne? Digo na I