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A curva de demanda, em monopólio, é também a Receita Média. Assim, RM1 = 90 - Y1 e RM2 = 100 - Y2, em que RM1 = P1 e RM2 = P2.
Dessa forma a RECEITA TOTAL 1 (RT1) é a RM1 vezes a quantidade, aqui expressa por Y1. RT1 = 90Y1 - Y1².
De forma paralela, RT2 = 100Y2 - Y2².
Como RMG1 = RMG2 = CMG, então:
90 - 2Y1 = 20, portanto Y1 = 35
100 - 2Y2 = 20, portanto Y2 = 40
Y1 + Y2 = 75 e não 150 como afirma o gabarito. Perceba que é exatamente igual à metade do resultado. Eu acho que quem derivou a receita total na hora de executar a prova, derivou errado e o expoente 2 não ' caiu '.
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Eu não fiquei inteiramente satisfeito com minha resolução anterior, achei que poderia ter algum engano e busquei uma resposta mais técnica. Mas a resposta está certa. Em caso de dúvidas busquem a Questão 7, prova de 2003 da Anpec. Segui os passos da Cristiane Alkmin Junqueira Schmidt do livro de resolução de questões da prova.
A função lucro é data por π = RT - CT, em que π = lucro, RT = receita total e CT = custo total. A receita total é a própria função demanda, multiplicada por Y1 e Y2, a depender de qual bem se está vendendo. O custo marginal é dado, sendo que o custo total será a integral deste valor. Desta forma, tomando a demanda inversa de cada bem:
π = RT - CT
π = (90 - Y1)*Y1 + (100 - Y2)*Y2 - 20(Y1 + Y2)
A resposta para a questão são os valores máximos de Y1 e Y2 que maximizam a função. É possível encontrá-los derivando parcialmente o π em função de Y1 e igualando a zero e depois repetir o processo em relação a Y2.
∂ π / ∂ Y1 = 0 90 - 2Y1 - 20 = 0 Y1 = 35
∂ π / ∂ Y2 = 0 100 - 2Y2 - 20 = 0 Y2 = 40
Y1 + Y2 = 75
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Thiago, vc trocou P por Y
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A questão deveria ter sido anulada, certo?