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GABARITO E
TABELA-VERDADE
r s ~r ~s
v v f f
v f f v
f v v f
f f v v
(r ∨ s) ‹-› (~ r ∧ ~ s) = NÃO É TAUTOLOGIA
v ‹-› f = f
f ‹-› f = v
f ‹-› f = v
f ‹-› v = f
r -› ( r ∧ ~ s) = É UMA CONTIGÊNCIA
v --> f = f
v --> v = v
f --> f = v
f --> f = v
(r ∨ s) ∧ (~ r ∨ ~ s) NÃO É CONTRADIÇÃO
v ^ f = f
v ^ v = v
v ^ v = v
f ^ v = f
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GABARITO E (II e III).
TABELA-VERDADE
r s ~r ~s
v v f f
v f f v
f v v f
f f v v
(r ∨ s) ‹-› (~ r ∧ ~ s) = NÃO É TAUTOLOGIA
v ‹-› f = f
f ‹-› f = v
f ‹-› f = v
f ‹-› v = f
r -› ( r ∧ ~ s) = É UMA CONTIGÊNCIA
v --> f = f
v --> v = v
f --> f = v
f --> f = v
(r ∨ s) ∧ (~ r ∨ ~ s) É UMA CONTRADIÇÃO
v ^ f= f
v ^ f = f
v ^ f = f
f ^ v = f
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Pessoal, tem um erro de digitação na questão! A alternativa número 3 é escrita corretamente dessa forma
III - A proposição lógica composta (r ∨ s) ∧ (~ r ∧ ~ s) é uma contradição.
Sendo considerada como correta!
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TODAS as três resoluções acima apresentam erro na primeira proposição.
R v S fica V-V-V-F, e o resultado do se então é F-F-F-F (contradição, o que torna a I errada). Pessoal copia e cola as respostas sem conferir...
Além disso, como o Alberto mencionou, a afirmativa III está com erro de digitação, devendo ser " III - A proposição lógica composta (r ∨ s) ∧ (~ r ∧ ~ s) é uma contradição" (sem o risco embaixo).
Sem essa correção, o exercício dá como resposta correta a B; corrigindo, fica a E (que é o gabarito).
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A minha tabela verdade ficou igual a do Mateus Generoso. Mas não é "se então", é "se, e somente se".
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Mateus Generoso tem razão, há erro na montagem da tabela do pessoal aí galera.
r s ~r ~s
v v f f
v f f v
f v v f
f f v v
(r ∨ s) ‹-› (~ r ∧ ~ s) = Não é uma tautologia , pois é uma contradição o item l.
v ‹-› f = f
v ‹-› f = f
v ‹-› f = f
f ‹-› v = f
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I) (r∨s) ↔ (¬r∧¬s) ⇔ (r∨s) ↔ ¬(r∨s) ⇔ w ↔ ¬w (Falso para todo w, ou seja, falso para todo r e s). Proposição I é falsa.
II) r → (r∧¬s) ⇔ ¬r ∨ (r∧¬s) ⇔ (¬r ∨ r)∧(¬r∨¬s) ⇔ ¬r∨¬s (toda disjunção de proposições independentes é uma contingência). Proposição II é verdadeira.
III) (r∨s) ∧ (¬r∧¬s) ⇔ (r∨s) ∧ ¬(r∨s) ⇔ w∧¬w (Falso para todo w, ou seja, falso para todo r e s). Proposição III é verdadeira.
Obs: w é uma variável auxiliar, usada pra facilitar a conclusão.
ALTERNATIVA E
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https://youtu.be/XJqAlOpW-38
Pode ajudar.
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Técnica para reconhecer tautologia prof. Jhoni
1- igualar a proposição a FALSO
2- procurar o conectivo principal
3- separar a proposição em duas partes: uma antes do principal e outra depois;
4- analisar de que maneira é possível fazer o conectivo principal dar FALSO;
5- analisar a resposta: se for possível o principal dar falso, sem gerar nenhum erro, então não é tautologia. Se ao procurar a forma de acontecer o falso, aparecer algum erro de tabela verdade, será tautologia.