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fiz por tentativa mesmo, a minha sequência ficou assim:
13+2, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6
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Fazendo a distribuição: x +(x+1) + (x+2) + (x+3) + (x+4) + (x+5) +(x+6) + (x+7) = 78
8x + 28 = 78
8x = 50
x = 6 com mais 2 restantes que podem distribuídas para (x+6) ou para (x+7)
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Neste Caso, por eliminação de alternativas sai bem mais rápido:
6 + 7 +8 +9 +10 +11 +12 + 13 = 76 (é o único que fica aproximado a 78, sendo 6 a menor quantidade).
*(se começar com 7 o quantidade fica acima de 78; se começar com cinco, fica abaixo)
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Embora eu concorde com os colegas, acredito que essa questão não foi bem formulada, seria possível encontrar qualquer valor para a menor quantidade, já que o enunciado não fala que os números devem ser sequenciais, apenas que são diferentes.
Por exemplo:
3+19 + 4+15 + 5+14 + 6+13 = 78
-todos diferentes
-nenhuma criança ficou com 0.