Questão Q826081

Seja z um número complexo e i a unidade imaginária. Determine z de forma que o triângulo de vértices i,z e iz seja equilátero e assinale a opção correta.

Alternativas

Comentários

esta questão tem alguns modos de serem feitas, mas o jeito que de fato eu consegui fazer foi " forçando" deixar os lados iguais...
|z-i|=|z-iz|=|iz-i| (o módulo significa a distancia)
tendo z= a+bi
|i(b-i)+a|=|a+b+i(b-a)|=|-b+i(a-1)|
resolvendo isso, vamos ter
b^2-2b+1+a^2=2a^2+2b^2=b^2+a^2-2a+1
igualando a primeira com a segunda teremos
a^2+b^2=-2b+1
igualando a primeira e a terceira teremos
-2b+2a=0
a=b
jogando essa informação na primeira equação vamos encontrar uma eq do segundo grau com raiz
a=-1+-raiz de 3/ 2
como nas alternativas tudo esta em função do "e" usamos a formula de euler
|z|. e^iOº
a) para -1+raiz de 3/ 2
o módulo de z vai dar uma raiz com dois radicais e ai tem q aplicar aquela propriedade para raiz dupla
vms achar a raiz 6- raiz2/ 2
e teremos pi/4 como o nosso Oº
b) para a= -1-raiz de 3/2
|z|=raiz de 6+ raiz de 2/ 2
e o Oº é 5pi/4 (como o cos deu - e o sen tmb, ele só poderá estar no terceiro quadrante)

Gab: D

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