Questão 2495890

• Banca: Marinha
• Órgão: CEM
• Ano: 2017
• Provas: Marinha - 2017 - CEM - Primeiro Tenente - Para todas as Engenharias
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Álgebra Linear; Álgebra Linear - Equações Lineares, Espaço Vetorial e Transformações Lineares e Matrizes

Denote o produto vetorial dos vetores v e w do espaço tridimensional por v x w e considere T : ℝ³ → ℝ³, T(u) = u x (0,0,1). Qual a imagem do quadrado Q = {(x,y, 0) ∈ ℝ³ : 0 ≤ x ≤ 1,  0 ≤ y ≤ 1} por T? 

• A. Q₁ = {(x,y,0) ∈ ℝ³ : -1 ≤ x ≤ 0, - 1 ≤ y ≤ 0}
• B. Q₁ = {(x,y,0) ∈ ℝ³ : -1 ≤ x ≤ 0, 0 ≤ y ≤ 1}
• C. Q₁ = {(x,y,0) ∈ ℝ³ : 0 ≤ x ≤ 1, -1 ≤ y ≤ 0}
• D. Q₁ = {(x,y,0) ∈ ℝ³ : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}
• E. Q₁ = {(x,y,0) ∈ ℝ³ : -1 ≤ x ≤ 1, -1 ≤ y ≤ 1}

Gabarito: C

Comentários

• Faça u = (x,y,0)

  T(u) = u×(0,0,1) 
  
  x varia de 0 a 1, y varia de 0 a 1. Assim, os possíveis vetores formados no formato (x,y,0) são : (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) e (1,1,0)

  A imagem de (0,0,0) é T(0,0,0)= (0,0,0) × (0,0,1)   = (0,0,0)
  A imagem de (1,0,0) é T(1,0,0) = (1,0,0) × (0,0,1) = (0,-1,0)
  A imagem de (0,1,0) é T(0,1,0) = (0,1,0) × (0,0,1) = (1,0,0)
  A imagem de (1,1,0) é T(1,1,0) = (1,1,0) × (0,0,1) = (1,-1,0)
  
  Assim, o x vai de 0 a 1 e o y vai de 0 a -1, LETRA C.

• T(x,y,0) = (x,y,0)X(0,0,1) = (y, -x)

  como 0 =< y =< 1, na transformação a primeira coordenada varia nesse intervalo. A segunda coordenada varia no sentido inverso, pois está multiplicada por -1: -1 =< x =< 0

  Letra C