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Queremos achar o tempo que decorrerá até os montantes serem iguais, portanto:
Igualares os montantes : M1=M2,
logo como o problema fala em log subentende-se se tratar de juros compostos,
C1.(1+i)^n=C2.(1+i)^n.................45000.(1,2)^n=135000.(1,08)^n............(1,2/1,08)^n=1350000/45000,
simplificando teremos: (10/9)^n=3, aplicando log :log (10/9)^n=log3,
das propriedades do log: n .(log10 – log9)- log 3............n.(1-2log3)=log 3,
substituindo o valor de log dado no problema:
n.(1-0,96)=0,48...............n.0,04=0,48...............n=0,48/0,04.................. n=12
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Usando a fórmula do montante de capital para Juros Compostos e considerando que o montante de dinheiro do fundo de investimento deverá ser equivalente ao valor patrimonial da casa após n anos, tem-se os cálculos:
[Valor Nominal da Casa x Valorização da Casa em n anos] = [Valor Inicial do Capital Investido x Valorização do Fundo de Investimento]
135.000 (1,08)t = 45.000 (1,2)t
3 (1,08)t = (1,2)t
(1,08/1,2)t = 3-1
t . log 0,9 = - log 3
mas: log 0,9 = log 32 . 10-1 = 2 log 3 - log 10 = 2 . log 3 - 1 = 2 . 0,48 - 1 = - 0,04
então:
- 0,04 . t = - 0,48
t = 12
Gabarito: "b"
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Gente é muito mais simples do que isso.
Primeiro apliquei a fórmula: J=cti/100 para os dois
Saulo rende: 45.000xtx20/100=9.000a/a
Casa rende:135.000xtx8/100= 1080a/a
Saulo vai usar o montante para comprar a casa M=C+J
Testando possibilidades
comecei com 10 anos que é o mais facil de multiplicar: Saulo:10ax9000=Dinheiro de Saulo rende 90.000 em 10 anos-->90.000+45.000=135.000(podemos perceber que ele precisa de mais de 10 anos para comprar a casa..pois o valor da casa ja começa com 135.000)
Testando 12: 9000x12=108.000
M=108.000+45.000=153.000
Casa: 1080x12=12.960
M=135.000+12.960=147.960
Achamos a resposta 12 anos e ainda sobra dinheiro.
Nem usei esse log.Espero ter ajudado.
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Lorena,
Você colocou aí 135.000 x t x 8 /100 = 1080
Não seria 10800?
135000 * 8 = 1.080.000
1.080.000 / 100 = 10.800
E se você for calcular 10.800 x 12 vai dar 129.600 e não 12960, o que não possibilitaria o resultado final ser 12.
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Lorena é impossivel resolver esse problema com a fórmula de juros simples, até porque com juros simples o valor que Saulo aplicou nunca vai chegar ao valor da casa, sem falar que seu calulo foi feito incorretamente, sendo que a casa por ano rende 10800 e em 12 anos seria 10800x12= 129600, isso só de juros, mais o valor da casa seria 135000+ 129600= 264600. O único jeito é usando a fórmula de juros composto, não tem caminho mais fácil, tem que ussar essa fórmula e relembrar operações de logaritimo =/.... ou torcer para não cair isso na próxima prova. T+
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Falou em log a questão é de juros compostos, logo:
M1=M2
C1.(1+i)^n=C2.(1+i)^n
45000(1+0,2)^n= 135000(1+0,08)^n
Teremos:
135000/45000= (1,2/1,08)^n
Dividindo 135/45 = 3
Simplificando 1,2/1,08 por 0,12 = 10/9
Usando log, teremos:
log3= log10/9.n
Usabdo a propriedade da divisão de log:
log3= (log10 - log 9).n
O valor do log3 ele dá na questão: 0,48
log10 = 1
log 9 = log3^2 que será = 2log3 (usando a propriedade de log com potência), teremos:
0,48= 1- 2(048).n
0,48= (1- 0,96).n
n= 0,48/0,04
n=12 anos
Bons estudos, galera!
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M = C. (1 + i)^t
C = 45.000
i = 0,02
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C = 135.000
i= 0,08
45.000 (1+ i)^t = 135.000 (1 + i)^t
45.000 (1 + 0,2)^t = 135.000 (1 + 0,08)^t
45.000 (1,2)^t = 135.000 (1,08)^t
135.000/45.000 = (1,2/1,08)^t
3 = (10/9)^t
log3 = t.log (10/9)
0,48 = (log10 - log9).t
0,48 = (1 - 2log3).t
0,48 = (1 - 2.0,48).t
0,48 = (1 - 0,96).t
0,48 = 0,04.t
t = 0,48/0,04
t = 12
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O engraçado é que esta resposta só está certa se você usar a aproximação para LOG 3 = 0,48. Pq se você usar o valor real de log 3, a resposta cai pra 10 anos e 5 meses. :P
Por isso eles colocaram USE log 3 = 0,48 e não Dado Log 3 = 0,48. Senão caberia recurso...
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M = C.(1 + i)^t
De modo análogo, também daqui a t anos, o valor C' da casa, com o aumento anual i', deverá valer o montante M':
M' = C'.(1 + i')^t
Daqui a t anos esses capitais deverão ser iguais:
C'.(1 + i')^t = C.(1 + i)^t
Substituindo os valores fornecidos, teremos:
135000.(1 + 0,08)^t = 45000.(1 + 0,20)^t
3.(1,08)^t = (1,20)^t
(1,20/1,08)^t = 3
(10/9)^t = 3
Aplicando log em ambos os membros, teremos:
t.log (10/9) = log 3
t.[log 10 - log 9] = log 3
t.[1 - log 3²] = log 3
t.[1 - 2.log 3] = log 3
t.[1 - 2.(0,48)] = 0,48
t.[0,04] = 0,48
t = 12 anos
https://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20110221023137AANEbYd
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Obs.: Misturar logarítimo com matemática financeira... eu hein:
Veja que o capital de Saulo cresce devido ao investimento, e o preço da casa cresce devido à valorização. No caso do capital, seu valor inicial é C = 45000, a taxa de juros é j = 20% ao ano, regime de juros compostos (veja que o enunciado nos mandou usar log3, o que é inviável no regime simples). Após um tempo “t”, o montante é:
M = 45000 x (1 + 0,20)t
A casa tinha valor inicial C = 135000 reais e valorizava à taxa j = 8% ao ano.
Após um tempo “t”, o seu valor é:
M = 135000 x (1 + 0,08)t
Para que estes dois montantes se igualem, é preciso que:
45000 x (1 + 0,20)t = 135000 x (1 + 0,08)t
1,2t = 3 x 1,08t
(1,2 / 1,08)t = 3
Agora devemos lançar mão dos conhecimentos de logaritmo:
log(120 / 108)t = log3
t x log(10 / 9) = 0,48
t x [log10 – log9] = 0,48
t x [ 1 – log32] = 0,48
t x [1 – 2 x log3] = 0,48
t x [1 – 2 x 0,48] = 0,48
t = 12 anos
Resposta: B
Fonte: Professor Arthur Lima - Estratégia Concursos
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Solução em vídeo: https://youtu.be/AdORVeUDK4I
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Veja que o capital de Saulo cresce devido ao investimento, e o preço da casa cresce devido à valorização. No caso do capital, seu valor inicial é C = 45000, a taxa de juros é j = 20% ao ano, regime de juros compostos (veja que o enunciado nos mandou usar log3, o que é inviável no regime simples). Após um tempo “t”, o montante é:
M = 45000 x (1 + 0,20)t
A casa tinha valor inicial C = 135000 reais e valorizava à taxa j = 8% ao ano. Após um tempo “t”, o seu valor é:
M = 135000 x (1 + 0,08)t
Para que estes dois montantes se igualem, é preciso que:
45000 x (1 + 0,20)t = 135000 x (1 + 0,08)t
1,2t = 3 x 1,08t
(1,2 / 1,08)t = 3
Agora devemos lançar mão dos conhecimentos de logaritmo:
log(120 / 108)t = log3
t x log(10 / 9) = 0,48
Lembrando que log(A/B) = logA – logB, podemos dizer que log(10/9) = log(10) – log(9). Assim:
t x [log10 – log9] = 0,48
Lembrando que log10 = 1, temos:
t x [ 1 – log3²] = 0,48
Utilizando a propriedade log3² = 2 x log3:
t x [1 – 2 x log3] = 0,48
t x [1 – 2 x 0,48] = 0,48
t = 12 anos
Resposta: B
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#VerDepois
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#Respondi errado!!!