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Resposta: CERTA
O enunciado apresenta que o valor de "n" é igual ou maior do que 1. Por exemplo, para saber o a3 e a4 foi substituído na fórmula o "n" por 1:
a2n = a2n-1 + a2n-2, e a2n+1 = a2n - a2n-1
essa em a2 essa em a3
substituindo o número 1 no lugar de "n" foi obtido os valores de a3 e a4 da seguinte maneira:
a2n = a2n-1 + a2n-2
a2x1 = a2x1 - 1 + a 2x1 -2
a2= a1 + a0
a2= 3 + 1 = 4 a2=4
Substituindo o "n" pelo número 1 na segunda fórmula
a 2n + 1= a 2n - a2n-1
a2x1 +1 = a2x1 - a2x1-1
a3 = a2 - a1 (o valor de a2 descobrimos que é 4 e de a1 foi apresentado na questão: a1=3)
a3 = 4 - 3 = 1
Agora vamos achar o valor de a4. Nesta caso vamos substituir o valor de "n" por 2 na primeira fórmula
a2n = a2n-1+a2n-2
a2x2= a2x2-1+a2x2-2
a4= a3 + a2 (a3 já foi encontrado, é 1 e a2 é 4)
a4 = 1 + 4 = 5
agora na segunda fórmula a2n+1 = a2n - a2n-1 vamos substituir novamente o "n" por 2 para achar o valor de a5
a2n+1 = a2n - a2n-1
a2x2+1= a2x2- a2x2-1
a5= a4 - a3
a5= 5 - 1 = 4 a5=4
Agora vamos achar o a6 e a7, substituindo agora o "n" por 3 nas fórmulas.
a2n = a2n-1 + a2n-2
a2x3= a2x3-1 + a2x3 - 2
a6= a5 + a4
a6= 4 + 5 = 9 a6=9
Agora na segunda fórmula vamos achar o valor de a7, novamente substituindo o "n" por 3
a2n+1 = a2n - a2n-1
a2x3+1 = a2x3 - a2x3 - 1
a7= a6 - a5
a7= 9 - 4 = 5
a7= 9 - 4= 5 a7= 5
Agora vamos encontrar o a8 substituindo na primeira fórmula novamente e colocando no lugar da letra "n" o número 4
a2n = a2n-1 + a2n-2
a2x4 = a2x4-1 + a2x4-2
a8 = a7 + a6 = 5 + 9
a8=14
Agora vamos calcular o a9, substituindo o "n" também por 4 na segunda fórmula
a2n+1 = a2n - a2n-1
a2x4+1 = a2x4 - a2x4-1
a9= a8 - a7
a9= 14 - 5= 9 a9=9
calculando o a10 substituindo o "n" por 5 na primeira fórmula
a2n = a2n-1 + a2n-2
a2x5= a2x5-1 + a2x5-2
a10= a9 + a8
a10= 9 + 14
a10=23
substuindo n=5 na segunda equação para encontrar o a11: a2n+1 = a2n - a2n-1. a11= a10- a9 = 23-9 = 14 a11= 14
Observando os valores verifica-se que a2= a5=4 / a6=a9=9 / a8=a11=14. logo a série sempre vai apresentar valores iguais conforme vamos substituindo o valor de "n" nas equações.
Colaboração da colega Ariane Chimanski !!!! vide Q873976
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Existe um jeito bem didático de entender sequências numéricas (vou usar "x" no lugar de "n"):
Imagine que você tem um armário com infinitas gavetas.
Você enumera essas gavetas. A primeira é enumareda com um "0", a segunda com um "1", a terceira com um "2" e assim por diante. Dentro de cada gaveta você coloca certa quantidade de alguma coisa (maçãs, bolinhas, dinheiro, você escolhe).
Quando a questão fala em "a₀, a₁, a₂, a₃... aₓ" entenda assim:
—> "₀,₁,₂,₃..." esses números e letras subescritos são o número da gaveta onde você guardou algo.
—> "a" é o que está guardado na gaveta.
Assim, se a gaveta "aₓ" for a mesma gaveta "a₇" então x=7. Nesse caso, o que seria a gaveta "aₓ₊₁"? Seria a próxima gaveta "a₇₊₁" que é "a₈". "aₓ₋₂" seria "a₅". Sacou? (Vou usar essa analogia em toda a explicação.)
Agora vem a parte legal. A questão dá uma lei que nos permite achar a quantidade guardada em uma gaveta baseado na quantidade guardada em gavetas vizinhas. Veja:
(Usando "x" no lugar de "n")
a₂ₓ = a₂ₓ₋₁ + a₂ₓ₋₂ —> traduzindo... se "a₂ₓ" é uma gaveta qualquer, a quantidade guardada nela é igual à soma das quantidades nas duas gavetas anteriores. Consegue ver isso?
a₂ₓ₊₁ = a₂ₓ - a₂ₓ₋₁ —> traduzindo... se "a₂ₓ₊₁" é uma gaveta qualquer, a quantidade guardada nela é igual à quantidade na gaveta anterior menos a quantidade na gaveta ante-anterior. Entendeu?
Fiz o diagrama abaixo usando essas leis. Vamos usar letras maiúsculas (A, B) para representar as quantidades nas gavetas (a barra não significa divisão; não confunda com uma fração). Veja se consegue entender:
quantidade na gaveta —> ... A , B , A+B , (A+B)-B ...
gaveta (endereço, posição) —> a₂ₓ₋₂ a₂ₓ₋₁ a₂ₓ a₂ₓ₊₁
Como "(A+B)-B" é igual a "A", a sequência pode ser reescrita assim:
quantidade na gaveta —> ... A , B , A+B , A ...
gaveta (endereço, posição) —> a₂ₓ₋₂ a₂ₓ₋₁ a₂ₓ a₂ₓ₊₁
Note que as gavetas "a₂ₓ₋₂" e "a₂ₓ₊₁" guardam a mesma quantidade (A). Isso significa que à medida que aplicarmos essas leis à sequência, haverá um número infinito de gavetas diferentes (podemos chamá-las de "P" e "Q") que guardam a mesma quantidade.
Resposta: Certo
NOTA: Segundo o enunciado, a gaveta "a₁" guarda a quantidade "3". Esse número é o único da sequência que não se repete. Mas essa exceção não torna a questão errada. A questão não afirma que cada quantidade é guardada por mais de uma gaveta (que todos os números na sequência se repetem pelo menos uma vez). Ela afirma que o número de gavetas (posições, endereços na sequência) que guardam quantidades repetidas é infinito. Sacou?
Não seja contaminado pelo conceito comum de que matemática é chata, difícil, tediosa. Tente olhar o lado surpreendente e fascinante de cada problema que resolver. Estuda aê! ; )
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Primeiramente era necessário saber como seria a sequencia e isso foi cobrado na Q873976, é a questão logo em seguida dessa.
a sequencia é : 1 , 3 , 4 , 1 , 5 , 4 , 9 , 5 , 14 , 9 , 23 ............. infinitamente ( sabendo que quando A POSIÇÃO é par (a2, a4, a6.. etc) , ele é exatamente a soma dos dois termos anteriores e quando é impar(a3, a5, a7) ele é a subtração dos dois termos anteriores)
Podemos perceber que há varias repetições que irão ocorrer infinitas vezes na sequencia, logo vão existir infinitos valores p e q, tais que ap = aq
GABARITO: CERTO
Bons estudos galera
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Temos que
a2n = a2n-1 + a2n-2
a2n+1 = a2n - a2n-1
Somando essas duas equações, ficaremos com
a2n+1 = a2n-2
ou seja, se chamarmos 2n+1 de p e 2n-2 de q, teremos infinitos valores onde ap = aq, já que n pode assumir infinitos valores inteiros
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(a2n-2,a2n-1, a2n ,a2n+1,a2n+2)
Quando for PAR = a2n =SOMA dos 2 termos anteriores (a2n-2,a2n-1) ;
Quando for IMPAR = a2n+1= SUBTRAÇÃO dos 2 termos anteriores (a2n- a2n-1)
Ex: Foi dado
a0 (a2n-2) = 1
a1 (a2n-1) = 3;
a2 (a2n) = PAR = SOMA dos dois anteriores = a1 (a2n-1) + a0 (a2n-2) = 4
a3 (a2n+1) = IMPAR = SUBTRAÇÃO dos dois anteriores = a2 (a2n) -a1 (a2n-1) = 4-3 = 1
a4 (a2n) = PAR = SOMA dos 2 termos anteriores = a3 +a2 = 1+4 = 5
=> Para a4 , a3 irá funcionar como (a2n-1) ; a2 irá funcionar como (a2n-2)
E assim prossegue, acredito que tenha esclarecido um pouco a lógica da Progressão.
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Fiz assim:
Vou colocar o "a" como "A" para ficar mais fácil de visualizar
A2n = A2n-1 + A2n-2
Assim, se n for 1, teremos: A2 = A1 + A0... Ou seja, soma-se os dois termos anteriores.
A2n+1 = A2n - A2n-1
Assim, se n for 1, teremos: A3 = A2 - A1.... Ou seja, a subtração de dois termos anteriores.
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Agora vem a resposta: Qual o valor de a3?
A3 = A2 - A1
Só que A2 = A1 + A0.
Assim, A3 = A1 - A1+ A0, tornando o A3 = A0.
Logo, teremos muitos Ap = Aq.
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As regras de formação da sequência levam em conta a natureza do índice de cada termo, ou seja o número “n”:
Se n for par, usamos a regra: a2n = a2n – 1 + a2n – 2.
Se n for ímpar, usamos a regra: a2n + 1 = a2n – a2n-1.
Inicialmente, o enunciado informa os dois primeiros termos da sequência. Aplicando as regras de formação, podemos completá-la:
1, 3, 4, 1, 5, 4, 9, 5, 14, 9, 23, 14,…
Podemos perceber que realmente podem surgir vários termos repetidos à medida que construímos a sequência com base na sua lógica de formação:
1, 3, 4, 1, 5, 4, 9, 5, 14, 9, 23, 14,…
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Simplicidade: para n > = 1, tem-se:
a2n = a2n-1 + a2n-2
a2n+1 = a2n - a2n-1
resolvendo o sistema:
a2n+1 = a2n-1 + a2n-2 - a2n-1
a2n+1 = a2n-2, logo para valores de n>=1, alguns termos iram se repetir:
para n=1 ................a3 = a0
para n=2.................a5 = a2
e etc.....
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Parabéns pra vc que conseguirá resolver uma questão dessa no dia da prova em 1 minuto.
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GABARITO CORRETO.
a2n=an-1+an-2
a2*1=a2-1+a2-2
a2=a1+a0
a2n+1=a2n-a2n-1
a2*1=a2*1-a2*1-1
a3=a2-a1
Quando o termo é par soma os dois termos antecessores.
quando o termo é impar subtrai.
p=q
a0=1
a1=3
a2=4
a3=1
a4=5
a5=4
a6=9
a7=5
a8=14
a9=9
a10=23
Veja as cores iguais correspondem a valores em que p = q que vai até o infinito, ou seja, se formos ir fazendo os termos todo encontraram seu respectivo par.
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kkkkkkkkkkk sabe aquela questão que não sabe-se nem por onde começar.
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não entendi a professora explicando a2n +1= a2n -1 + a2n -2 - a2n-1
quando ela diz que a2n-1 é igual a a2n-1 e ela corta não tem sentido ou nao estou entendendo, pois a2n da pra cortar com -a2n, ficando ainda -1 + a2n -2 - 1 , concluindo fica a2n -4 agora entendi pois fica assim: entendi o modo de resolução, pelo que vi é a2n - 1 e -a2n - 1 é assim, a1n - a1n ficando assim corta os dois, pois aquele -1 ele subtrai do a2n ou do -a2n.
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Hj,, se vc não for formado em uma área, exemplo, português, matemática, informática, direito....realmente as provas de concurso publico ficam quase impossíveis para os comuns. Eu, ser comum, vou precisar estudar muitooooooooo.
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Mi-se-ri-cór-dia
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O que é p e q na questão ?
Não entendi
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o comentário da professora na questão está bem elucidativo. indico aos colegas (que assim como eu) nao entendem nada de matemática assistir a explicação da professora.
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rapaz, que viagem é essa...
Gaba: CERTO.
como resolvi:
primeiro não entendi p*** nenhuma de "ap = aq"...
oxi, que é P e quem é Q?
aqui, travou! ... mas já que a questão não disse nada, vou atribuir valores pra testar:
eu atribuir que:
p=1
q=1
então...
ap = a1
e
aq =a1
não tem muito sentindo mais continuei...
peguei o n ≥ 1 e disse que n=1
N=1
hum agora vou testar na formula...
n=1
a2n = a2n-1 + a2n-2
a2*1= a2*1-1 + a2*1-2
a2=a2-1+a2-2
a2=a1+a0
a2=...
opa achei algo, a1 = 3 e a0=1, isso tá lá na questão.
a2= 3+1
a2=4.
testando a outra formula...
n=1
a2n+1 = a2n - a2n-1.
a2*1+1 = a2*1-a2*1-1
a2+1 = a2-a2-1
a3 = a2-a1
se ligue, na formula anterior acabei achando a2, que é igual a 4...
a3=4-3
a3=1
tá achei a3, que faço agora?
apenas compare as coisas...
a3=1
e
a0=1
que é ap = aq.
veja o comentário de Dezotti PRF pra ajudar a entender
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Pensei da seguinte maneira: todo número multiplicado por 2 é par e todo numero multiplicado por 2 e somado por 1 é impar. 2n são os números pares dessa sequência e 2n+1 são os números impares dessa sequência. Considerando p e q como números pares e ímpares, então em uma sequência infinita a quantidade de números pares será igual a quantidade de números impares, ou seja, p=q.
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De fato o mais difícil era adivinhar que a questão chama p e q de par e ímpar...
Mas calculando cada termo, percebemos que:
a0 = a3 = 1
a2 = a5 = 4
a4 = a7 = 5
a6 = a9 = 9
...
Reparem que vai seguindo desta forma, um termo par = termo impar --> ap = aq
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O enunciado começa com A, depois aparece n, na assertiva pergunta sobre p e q, de onde saiu isso?
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CREDITOS:
Dezotti PRF
Fiz assim:
Vou colocar o "a" como "A" para ficar mais fácil de visualizar
A2n = A2n-1 + A2n-2
Assim, se n for 1, teremos: A2 = A1 + A0... Ou seja, soma-se os dois termos anteriores.
A2n+1 = A2n - A2n-1
Assim, se n for 1, teremos: A3 = A2 - A1.... Ou seja, a subtração de dois termos anteriores.
___________________________________________
Agora vem a resposta: Qual o valor de a3?
A3 = A2 - A1
Só que A2 = A1 + A0.
Assim, A3 = A1 - A1+ A0, tornando o A3 = A0.
Logo, teremos muitos Ap = Aq.
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A dificuldade da questão foi descobrir o que ela queria. rs...
Era apenas saber que existe valores ao longo da progressão que sempre serão iguais.
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Simplificando as equações:
(a2n) = (a2n-1) + (a2n-2)
(a2n+1) = (a2n) - (a2n-1)
Fica:
(a2n+1) = (a2n-2)
Sendo assim:
a0 = a3
a5 = a2
....infinito
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Tá achando que ser o Jason Bourne é fácil ???
Prova CESPE - 2018 - ABIN - Oficial Técnico de Inteligência - Conhecimentos Gerais
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Pessoal, se a gente analisar a questão anterior, também conseguiremos resolver essa sem fazer muita conta.
Na questão anterior, vimos que a4= a7 e e a6= a9, por exemplo.
Como na última questão o maior número de termo era o a10, paramos a conta nele.
Ou seja, se a gente continuar calculando os termos, vamos ver que existem mais termos com mesmo valor.
Como o requisito para se utilizar as equações dadas é que n seja maior ou igual a 1, e existem INFINITOS números maiores do que 1, o número de igualdades entre os termos também será infinito.
VALE LEMBRAR QUE A IGUALDADE SEMPRE VAI SER ENTRE UM NÚMERO DE TERMO PAR E UM NÚMERO DE TERMO IMPAR.
EX; a4=a7...
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Minuto (22:22)
https://www.youtube.com/watch?v=CLH8LazsB1Y&t=862s
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Bem mais rápido:
https://youtu.be/DSHdW6KRlSk
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achar os valores da sequência foi fácil, o difícil foi saber que que o examinador queria dizer com "p" e "q", do nada.