Olha a dona CESPE cobrando Álgebra Linear novamente! Vou tentar ajudar a galera.
É um pouco complexo explicar por aqui, mas vou tentar.
Matéria: Aritimética Modular - Tabelas de multiplicação
A questão fala: "Zn representa o conjunto dos inteiros módulo n e que Mn representa o conjunto das matrizes quadradas n × n"
Então sabemos que Zn = { 0,1,3,4,5,6,7,8,9} em módulo
Logo, temos Z1,Z2,Z3,Z4,Z5,Z6,Z7,Z8,Z9 em módulo
Mas, o que é módulo multiplicativo? Ou, o que é aritimética modular?
Usaremos a teoria dos restos.
A que é igual 5×10 na Aritmética Módulo 7?
Na aritmética usual seria igual a 50 certo?
Mas para respondermos corretamente à nossa pergunta temos que saber qual é o resto que 50 tem quando é dividido por 7.
Uma vez que este resto é igual a 1, dizemos que:
50 |__7__
(1) | 7 Resto = 1 Logo, 5 x 10 ≡ 1 (mod 7 = Z7)
Lemos: 5 multiplicado por 10 é congruente à 1 em módulo 7.
Exemplos de propiedades:
- A comutatividade (a . b = b . a para quaisquer a e b);
- A existência de elemento neutro (existe um número, o um, que verifica a . 1= a, para qualquer número a)
- A propriedade de cada número ter inverso só é válida quando estamos em módulo p, com p primo (o inverso de a é o número b - pode ser ele próprio - tal que o produto dos dois dá 1 (elemento neutro da multiplicação) , ou seja, b . a = 1). Ex: 5 . 1/5 = 1
Voltando pra questão....
No anel Z7, o inverso multiplicativo de 5 é 3. Certo ou Errado?
A questão quer saber se no módulo Z7 o inverso multiplicativo de 5 é 3.
Logo, 5 . X = 1 (mod 7)
Sabemos que X é o numero inverso de 5, de acordo com a propiedade que já expliquei.
Temos que encontrar X em módulo 7 (em Z7).
Ou seja, qual número multiplicado por 5 dará resto 1?
Vamos as tentativas...
5 . 0 = 0 ( mod 7 = 0)
5 . 1 = 5 (mod 7 = 5)
5 . 2 = 10 (mod 7 = 3)
5 . 3 = 15 (mod 7 = 1)
5 . 4 = 20 (mod 7 = 4)
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Solução: O número inverso que multiplica 5 em mod 7 (Z7) é 3.
AFIRMATIVA CORRETA.