Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde "i" representa a linha e "j" a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i2 e que bij = (i-j)2, então o produto dos elementos x31 e x13 é igual a:
Com relação a problemas aritméticos e matriciais, cada um dos
próximos itens apresenta uma situação hipotética, seguida de uma
assertiva a ser julgada.
Se, em um município, as seções eleitorais X, Y e Z têm, juntas, 1.500 eleitores; os tempos médios de votação nessas seções são 1 minuto e 30 segundos, 2 minutos e 1 minuto por eleitor, respectivamente; o tempo médio de votação nas três seções é de 2.175 minutos; e o número de eleitores da seção Y é igual à metade da soma do número de eleitores das seções X e Z, então, nesse caso, a seção eleitoral que tem o maior número de eleitores é a X.
Considere a matriz quadrada A, de ordem n > 1, onde cada elemento aij = i x j, para todos os valores de i e j pertencentes ao conjunto {1,2,3,...,n}. A soma de todos os elementosda matriz A é
Coloque F (falso) ou V (verdadeiro) nas afirmativas abaixo, assinalando a seguir a alternativa correta.
( ) Se A e B são matrizes reais simétricas então AB também é simétrica
( ) Se A é uma matriz real n × n cujo termo geral é dado por αij = (-1) i + j então A é inversível
( ) Se A e B são matrizes reais n × n então A2 - B2 = (A-B).(A+B)
( ) Se A é uma matriz real n × n e sua transposta é uma matriz inversível então a matriz A é inversível
( ) Se A é uma matriz real quadrada e A2 = 0 então A = 0
Lendo a coluna da esquerda, de cima para baixo, encontra-se
Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n , cujos determinantes são diferentes de zero. Nas proposições abaixo, coloque (V) na coluna à esquerda quando a proposição for verdadeira e (F) quando for falsa.
( ) det(-A) = (-1)n det A , onde - A é a matriz oposta de A .
( ) detA = -det At onde At é a matriz transposta de A.
( ) det A-1 = (detA) -1 onde A-1 é a matriz inversa de A .
( ) det(3A .B) = 3. detA. detB
( ) det(A + B) = det A + det B .
Lendo-se a coluna da esquerda, de cima para baixo, encontra-se
Considere todas as matrizes quadradas de ordem 2 cujos elementos (ou entradas) são 0 ou 1.
O número dessas matrizes que são inversíveis é:
Seja A = [ aij ] uma matriz quadrada de ordem 2 tal que det (A - I) = 5, onde I representa a matriz identidade de ordem 2.
Analise as proposições e escreva (V) para verdadeira(s) e (F) para falsa(s).
( ) det (A2 - 2 A + I ) = 25
( ) Se a12 = a21 então det(A) + a11 + a22
( ) Se a11 = a22 = 0 e a12 = -a21 então det(A) = 6
Julgue os seguintes itens, acerca de modelos lineares.
A presença de multicolinearidade na matriz de dados X pode tornar singular a matriz X' X.
Julgue os seguintes itens, acerca de modelos lineares.
Relativamente à estimação dos coeficientes de um modelo de regressão linear múltipla pelo método dos mínimos quadrados ordinários, é correto afirmar que se X for a matriz de dados e Y o vetor de respostas, no produto matricial H = (X' X) -1 X' , denominado matriz hat, o número de colunas será igual ao número de linhas do vetor Y.
As matrizes, A, B, C e D são quadradas de quarta ordem. A matriz B é igual a 1/2 da matriz A, ou seja: B = 1/2 A. A matriz C é igual a matriz transposta de B, ou seja: C = Bt . A matriz D é definida a partir da matriz C; a única diferença entre essas duas matrizes é que a matriz D tem como primeira linha a primeira linha de C multiplicada por 2. Sabendo-se que o determinante da matriz A é igual a 32, então a soma dos determinantes das matrizes B, C e D é igual a
Considere as seguintes sentenças abaixo, sendo A e B matrizes quadradas.
(I) Se AB=0, então A=0 ou B=0.
(II) Se A e B são matrizes simétricas, então (AB) t =BA.
(III) Se AB=0, então BA=0.
(IV) (A+ B) 2 =A2 + 2AB+ B2 .
(V) Se A e B são simétricas, então
(A+ B)(A-B)=A2 -B2 .
Assinale a alternativa CORRETA:
Uma matriz quadrada A, de ordem n (n ≥ 2), tem seu determinante também igual a n.O determinante n. A é igual a:
Considere a equação matricial A + BX = X + 2C, cuja incógnita é a matriz X e todas as matrizes são quadradas de ordem n. A condição necessária e suficiente para que esta equação tenha solução única é que:
Sejam pos(A) e nul(A) o posto e a nulidade de uma matriz A. Sabendo que A tem n colunas, considere as afirmações:
I. nul(A) = n - pos(A).
II. A dimensão comum do espaço de linhas e do espaço de colunas é n - nul(A).
III. O espaço de linhas e o espaço de colunas têm dimensões diferentes, se na matriz A o número de linhas é diferente do número de colunas.
É correto afirmar que SOMENTE
Para gerar uma senha de acesso dos empregados às dependências de um escritório, o diretor desse estabelecimento propôs que os dígitos dessa senha fossem obtidos mediante a execução do seguinte procedimento:
1 determine a matriz de transição T da base de vetores E = [(1,0),(0,1)] para a base F = [(1,3),(2,-1)] do plano;
2 determine o vetor (u,v), calculado pela aplicação da matriz de transição T sobre um vetor (x,y) dado;
3 obtenha a senha de acesso como o número formado pelos algarismos de u seguidos dos de v, isto é, na forma uv.
Nesse caso, se um funcionário receber como dado o vetor (5,8), sua senha será
Seja A uma matriz quadrada invertível. Considere as matrizes A² e A³ definidas por A² = A . A e A³ = A . A . A, onde . indica a operação de multiplicação usual de matrizes.
Se det(A² ) - 2 . det(A) = 0 , então o determinante det(A³ ) é igual a
Uma matriz A4x4 , para a qual aij indica o termo que ocupa a linha i e a coluna j, deverá ser montada, de tal forma que:
• aij = 0 ou 1, ∀i,j = 1,2,3,4;
• aii = 0, ∀i = 1,2,3,4;
• aij = aji , ∀i,j = 1,2,3,4.
De quantas maneiras distintas se pode montar a matriz A4x4 , de modo que todas as condições sejam satisfeitas?
Seja a matriz A = (aij)2x2 tal que aij = |i 2 – j 2 |. A soma dos elementos de A é igual a
Seja a matriz A = (aij)2x2 tal que aij = |i 2 – j 2 |. A soma dos elementos de A é igual a
Considere uma matriz A 3X3 , formada por elementos a ij que representam os logaritmos decimais de (i+j), isto é, a ij = log(i+j). Se log2 = 0,301 e log3 = 0,477, a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A equivale a:
São dadas as matrizes A e B, onde cada elemento de A é encontrado através de aij=3i-5 e cada elemento de B é encontrado através de aij=4i. Qual é o elemento c11 da matriz C, onde c11 é a soma de a11 com b11?
Dada a matriz A=(aij)2x2 tal que aij = 2i – j, é correto afirmar que:
Considere as seguintes simbologias em relação à matriz M:
Mt é a matriz transposta de M
M-1 é a matriz inversa de M
det M é o determinante da matriz M
Da equação (Xt )-1 = A . (B + C) , em que A e (B + C ) são
matrizes quadradas de ordem n e inversíveis, afirma-se que
I. X = (A-1)t . [ (B + C)-1]t
II. det X = 1
det A. det ( B + C )
III. X-1 = ( Bt + Ct ) . At
São corretas
Uma empresa vende três produtos P1
, P2
e P3 cujos preços de venda, em unidades monetárias, estão
respectivamente representados pelos termos a1j , j ∈{1, 2, 3}, da matriz A = (63 90 70); o número
de unidades de cada produto, vendidas em um determinado mês, está representado pelos termos
b1j , j ∈{1, 2, 3}, da matriz B = (45 25 35), e o custo de produção de cada produto, está representado
pelos termos c1j, j ∈{1, 2, 3}, da matriz C = (55 70 58).
Com base nessas informações, é correto afirmar:
O lucro total obtido com a venda dos três produtos, nesse mês, foi igual a 1 240 unidades monetárias.
Uma empresa vende três produtos P1 , P2 e P3 cujos preços de venda, em unidades monetárias, estão respectivamente representados pelos termos a1j , j ∈{1, 2, 3}, da matriz A = (63 90 70); o número de unidades de cada produto, vendidas em um determinado mês, está representado pelos termos b1j, j ∈{1, 2, 3}, da matriz B = (45 25 35), e o custo de produção de cada produto, está representado pelos termos c1j, j ∈{1, 2, 3}, da matriz C = (55 70 58).
Com base nessas informações, é correto afirmar:
O lucro total pode ser obtido por meio da expressão matricial (A – C)Bt
.
Observe atentamente a MATRIZ a seguir
2 3 5 7
3 5 X 11
5 Y 11 13
7 11 z 17
Assinale a alternativa que contém os valores que devem ser
colocados nas posições X, Y e Z da matriz.
Assinale a alternativa INCORRETA:
Os elementos da matriz A = (aij)3x3 representam a quantidade de voos diários apenas entre os aeroportos i, de um país, e os aeroportos j, de outro país. A respeito desses voos, sabe-se que:
✓ quando j=2, o número de voos é sempre o mesmo,
✓ quando i=j, o número de voos é sempre o mesmo,
✓ quando i=3, o número de voos é sempre o mesmo;
✓ a11 ≠ 0, e det A = 0.
De acordo com as informações, é correto afirmar que o conjunto solução com as possibilidades de a11 é igual a
Considere as seguintes afirmações sobre as matrizes quadradas A e B de ordem n, com A inversível e B antissimétrica:
I. Se o produto AB for inversível, então n é par;
II. Se o produto AB não for inversível, então n é ímpar;
III. Se B for inversível, então n é par.
Destas afirmações, é (são) verdadeira(s)
Seja A = ( aij)5x5 a matriz tal que aij = 2i-1(2j - 1 ) 1 < i, j < 5. Considere as
afirmações a seguir:
I. Os elementos de cada linha i formam uma progressão aritmética de razão 2i.
II. Os elementos de cada coluna j formam uma progressão geométrica de razão 2.
III. tr A é um número primo.
É (são) verdadeira(s)
Seja x um número real, I a matriz identidade de ordem 2 e A a matriz quadrada de ordem 2, cujos elementos são definidos por aij = i - j. Sobre a equação em x definida por det(A - xI) = x + det A é correto afirmar que
Chama-se matriz diagonal à toda matriz quadrada em que todos os elementos não pertencentes à diagonal principal são nulos. Sabendo-se disso, considere o conjunto de todas as matrizes diagonais com duas linhas, compostas somente de números naturais e tendo o seu determinante igual a 36.
Sendo assim, o número de elementos desse conjunto de matrizes será:
Em uma matriz, chamam-se elementos internos aqueles que não pertencem à primeira nem à última linha ou coluna. O número de elementos internos em uma matriz com 5 linhas e 6 colunas é igual a
Assinale a alternativa INCORRETA:
Acerca de matrizes e determinantes, assinale a alternativa INCORRETA:
Sabe-se que A é uma matriz 2x2 e que I2 é a matriz identidade 2x2. Se A2= I2, quais serão os possíveis autovalores da matriz A?
Considere que A seja uma matriz Triangular Inferior (matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal são nulos) . Sendo assim, pode-se afirmar que A.A é uma matriz:
Considere uma matriz A = (aij)3 x 3, com aij = 2i – j e outra matriz diagonal B = (bij)3 x 3 cujos elementos não nulos são tais que bij = 3i – 2j. O determinante da matriz D, tal que D = A – B, é:
Considere A, B, C e X matrizes quadradas de ordem n e inversíveis. Assinale a alternativa FALSA.
Sejam as matrizes Amx3, Bpxq e C5x3. Se A . B = C, então m + p + q é igual a
O valor do determinante de uma matriz quadrada de ordem 2, tal que aij = 2i + j, é:
Complete a frase: “O determinante de uma matriz A é”:
Seja a matriz A = (aij)3x3, tal que aij = (–1)i + j. A soma dos elementos a12 e a31 é
Sobre multiplicação de matrizes, Fabiana escreveu as seguintes sentenças em seu caderno:
I - A4X2 . B2X3 = C4X3
II - A2X2 . B2X3 = C3X2
III - A2X4 . B3X4 = C2X4
IV - A1X2 . B2X1 = C1X1
Está correto o que Fabiana afirma:
Sabendo que A é uma matriz quadrada de ordem 3 e que o determinante de A é -2, calcule o valor do determinante da matriz 3A.
“Seja A uma matriz quadrada, se multiplicarmos todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) por um mesmo número, e somarmos os resultados dos elementos aos seus correspondentes de outra fila (linha ou coluna), obteremos outra matriz B. Entretanto, podemos afirmar que o det A = det B”. Assinale a alternativa CORRETA, que corresponda ao teorema citado acima:
Assinale a alternativa CORRETA que contenha uma matriz do tipo matriz identidade de ordem 3:
Sabe-se que o determinante de uma matriz A4x4 é 64. Se dividirmos todos os elementos da segunda coluna de A por 16 e multiplicarmos todos os elementos da matriz A por 2, obtemos uma matriz B4x4. O determinante da matriz B é:
Classifique as afirmações como verdadeiras ou falsas.
I) Se a matriz A é inversível e 1 é autovalor para A, então 1 também é autovalor para A⁻1 .
II) Se a matriz A contém uma linha ou uma coluna de zeros, então 0 (zero) é um autovalor para A.
III) Dois autovetores distintos são linearmente independentes.
IV) Se a matriz A é diagonalizável, então os autovetores de A são linearmente independentes.
As seguintes afirmações são VERDADEIRAS:
Seja A uma matriz 3 x 3. Sabendo-se que determinante de A é igual a 2, isto é, det(A) = 2, então os valores de det(2A−1) e det[(2A)2 ] são, respectivamente:
Em uma sala de aula, entre alunos e alunas, há 36 pessoas. Se, em determinado dia, seis das alunas faltarem às aulas e todos os alunos se fizerem presentes, então, nesse dia, a quantidade de alunos será o dobro da de alunas. Um problema que se coloca é determinar quantos alunos e quantas alunas pertencem a essa sala.
A respeito dessa situação hipotética, julgue o item subsecutivo.
O problema enunciado pode ser formalizado por uma
equação matricial da forma AX = B, em que A é uma
matriz quadrada 2 × 2, X e B são matrizes-colunas 2 × 1 e
o determinante da matriz A é diferente de zero.
A respeito de matrizes, determinantes e sistemas lineares é correto afirmar que:
Com relação às propriedades das matrizes, analise as afirmativas abaixo e assinale, a seguir, a opção correta.
I - A transposta da transposta de uma matriz é ela mesma.
II - (kA)'=kA', onde k é qualquer escalar.
III- Uma matriz é simétrica se, e somente se, ela é
diferente da sua transposta.
Considere as afirmações
I. Se a derivada da função cos(x) é - sin(x), a integral indefinida desta função sin(x) é a função - cos(x) acrescida de um valor constante.
II. Se A e B são duas matrizes quaisquer, a transposta do produto delas é o produto das respectivas matrizes transpostas, (AB)t = At Bt , mantendo-se a ordem dos fatores como aqui representada.
III. A diferença do logaritmo de dois números a e b é o logaritmo da razão entre eles log(a) - log(b) = log(a/b) como aqui representado.
IV. O produto de dois números complexos a+bi e c+di (onde i é a raiz quadrada de -1) é a soma dos produtos das respectivas partes reais e imaginárias, ou seja, ac+bdi.
Está correto o que se afirma em:
Considerando que Zn representa o conjunto dos inteiros módulo n e que Mn representa o conjunto das matrizes quadradas n × n, cada um com as operações de adição e multiplicação usuais, julgue o item seguinte, a respeito da álgebra de corpos, anéis e grupos.
No anel Z7, o inverso multiplicativo de 5 é 3.
Considerando que Zn representa o conjunto dos inteiros módulo n e que Mn representa o conjunto das matrizes quadradas n × n, cada um com as operações de adição e multiplicação usuais, julgue o item seguinte, a respeito da álgebra de corpos, anéis e grupos.
O anel M2 é um domínio de integridade.
Considerando que Zn representa o conjunto dos inteiros módulo n e que Mn representa o conjunto das matrizes quadradas n × n, cada um com as operações de adição e multiplicação usuais, julgue o item seguinte, a respeito da álgebra de corpos, anéis e grupos.
O anel Zn, em que n = p2
, com p primo, é um corpo.
Seja a matriz A = (aij)3x3, na qual: aij = 0, se i = j, aij = 1, se i > j, aij = -1, se i<j, então A - At + I3 é igual a:
Aula 1 – Matrizes
[...]
Definição
Uma matriz real A de ordem m × n é uma tabela de mn números reais, dispostos em m linhas e n colunas, onde m e n são números inteiros positivos. Uma matriz real de m linhas e n colunas pode ser representada por Am×n, que se lê “A m por n”. Também podemos escrever A = (aij), onde i ∈ {1, ..., m} é o índice de linha e j ∈ {1, ..., n} é o índice de coluna do termo genérico da matriz.
[...]
Multiplicação de matrizes
Sejam A = (aik), de ordem m x p e B = (bkj), de ordem p x n. A matriz produto de A por B é a matriz AB = (cij), de ordem m x n, tal que cij = ai1.b1j + ai2.b2j + ... + aip.bpj, para i = 1, 2, ..., m e j = 1, 2, ..., n.
Disponível em:<http://www.ufjf.br/quimicaead/files/2013/05/%C3%81lgebra-Linear-I_Vol-1.pdf>
Se M = (mij) e N = (nij) são matrizes de ordem 2 x 2 tais que
mij = ij e nij = i + j e E = (eij) é tal que E = MN, então e11 e e12 são,
respectivamente, iguais a
Considere as matrizes A2x3 e B2x2 .
Sobre essas matrizes é correto afirmar que
Sejam A e B duas matrizes quadradas de ordem 4. A respeito destas matrizes são feitas as seguintes afirmações:
I – se det(A) = 5 e det(B) = 3, então det (A + B) = 8, pois temos sempre det (A + B) = det(A) + det(B) para quaisquer que sejam as matrizes quadradas A e B;
II – se det(A) = 4, então det(4A) = 1024;
III – se det(A) = 3 e det(B) = 20, então det(AB) = 60;
É CORRETO afirmar que:
Se A, B e C forem matrizes quadradas de ordem 2, que possuem inversa, e se O for a matriz nula quadrada de ordem 2, podemos afirmar que:
Considere uma matriz quadrada A de ordem 4 e det A o seu respectivo determinante. Sobre a matriz A foram realizadas as operações descritas a seguir, uma após a outra:
• Os elementos da primeira linha da matriz A foram multiplicados por 6;
• Os elementos da terceira coluna da matriz A foram divididos por 2;
• Os elementos da segunda coluna foram trocados com os respectivos elementos da quarta coluna da matriz A;
• Os elementos da terceira linha da matriz A foram somados aos valores obtidos, somando-se os respectivos elementos da segunda e da quarta linhas da mesma matriz A;
• Todos os elementos da matriz A foram multiplicados por – 1.
Após realizar todas essas operações,
obteve-se uma nova matriz, tal que seu
determinante será igual a
Considere as afirmações a seguir que se referem a possíveis operações que podem ser aplicadas em uma matriz quadrada de ordem n:
1. Duas filas paralelas da matriz trocam entre si de posição.
2. Multiplicar a matriz por um escalar α.
3. Trocar ordenadamente as linhas pelas colunas da matriz.
4. Somar a uma fila da matriz a combinação linear de outras filas paralelas.
5. Multiplicar os elementos de uma fila da matriz por um escalar α.
Em relação a essas operações, o determinante da matriz quadrada de ordem n se altera se aplicarmos a essa matriz as seguintes operações:
Considere uma matriz quadrada A de ordem 4 e det A o seu respectivo determinante. Sobre a matriz A foram realizadas as operações descritas a seguir, uma após a outra:
• Os elementos da primeira linha da matriz A foram multiplicados por 6;
• Os elementos da terceira coluna da matriz A foram divididos por 2;
• Os elementos da segunda coluna foram trocados com os respectivos elementos da quarta coluna da matriz A;
• Os elementos da terceira linha da matriz A foram somados aos valores obtidos, somando-se os respectivos elementos da segunda e da quarta linhas da mesma matriz A;
• Todos os elementos da matriz A foram multiplicados por – 1.
Após realizar todas essas operações,
obteve-se uma nova matriz, tal que seu
determinante será igual a
A alternativa que apresenta a sentença correta acerca das propriedades de matrizes transpostas e inversas, é:
Sejam A e B duas matrizes quadradas quaisquer, de mesma ordem, e α um número real qualquer. Nessas condições, é correto afirmar que
Com relação a sistemas lineares e análise combinatória, julgue o próximo item.
Para todo sistema linear da forma AX = B, em que A é uma
matriz quadrada m × m, X e B são matrizes colunas m × 1, e
det(A) = 0, o sistema não tem solução.
Seja a matriz A= |aij|2x2, onde aij = 4i + j, marque a alternativa que corresponda a matriz A formada por estes elementos.
Classifique as afirmações como verdadeiras ou falsas.
Se A, B e C são matrizes com inversas denotadas por A⁻¹ , B⁻¹ e C⁻¹ , transpostas denotadas por A ͭ, B ͭ e C ͭ e determinantes denotados por | A | , | B | e | C | , avalie se estão corretas as sentenças a seguir:
Seja A uma matriz 3 x 3. Sabendo-se que determinante de A é igual a 2, isto é, det(A) = 2, então os valores de det(2A⁻¹) e det[(2A)²] são, respectivamente:
Considere as afirmações abaixo:
Assinale a afirmativa VERDADEIRA.