SóProvas

ID
2652613
Banca
CESGRANRIO
Órgão
Transpetro
Ano
2018
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

Em um prisma triangular regular reto inscreve-se um cilindro reto de modo que a base do cilindro seja um círculo inscrito na base do prisma.


Se a área lateral do prisma é X, e a área lateral do cilindro é Y, a razão Y/ X é igual a

Alternativas
Comentários

  • Primeiro temos que nos lembrar de alguns conceitos básicos de geometria.

     

    A área lateral de um prisma triangular reto (X) será 3 vezes o lado do triângulo equilátero (chamaremos de L) pela altura (H). -> 3.L.H
    A área lateral de um cilindro (Y) será o comprimento da circunferência (dado por 2piR) vezes a altura (H). -> 2.pi.R.H

     

    O cilindro inscrito nesse prisma terá a mesma altura H e terá a sua base inscrita em um triângulo equilátero (pois o prisma triangular é REGULAR/RETO, como informa o enunciado). A única coisa que precisamos encontrar para resolver a questão é o raio (R) da circunferência.

     

    Sabemos que o raio de uma circunferência inscrita em um triângulo equilátero será um terço da altura (L√3​/2) deste.

    Portanto, R = (L√3​/2)/3

    Resolvendo a continha acima chegamos ao resultado de que o raio vale (L√3)/6.

     

    Agora, sem mais nenhuma incógnita pra descobrir, basta fazermos a proporção Y/X pedida pelo enunciado.

    Y = 2.pi.[(L√3)/6].H

    X = 3.L.H

     

    Resolvendo linearmente aqui nos comentários fica difícil de visualizar, mas fica bem tranquila a simplificação colocando no papel, e chegamos ao resultado (pi√3)/9.

     

    GAB. LETRA C

     

  • DA ONDE SAIU (L√3​/2) ?

    raio de uma circunferência inscrita em um triângulo equilátero será um terço da altura deveria ser H/3 ...

  • Vamos visualizar esse cilindro inscrito no prisma triangular regular:

                   A área lateral do prisma é a área de um retângulo de base L e comprimento H. Portanto: X = 3 x L x H

    A área lateral do cilindro é dada por 2πr x H. O raio corresponde ao apótema do triângulo equilátero de lado L. Logo:

                   A razão será:

                   Alternativa C.

    Resposta: C