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** Em uma progressão aritimética, os termos opostos, ou equidistantes, ou seja, os que estão à mesma distância do termo central da PA, têm a mesma soma.
Exemplo: 2 , 4 , 8
(2 + 8) / 2 = 4
Agora vamos pra questão.
A sequencia dada pelo problema é: a4 = x + 1, a5 = x² + 4, a6 = 2x² + 3
Sabendo da propriedade dita: (x + 1 + 2x² + 3) / 2 = x² + 4
Após resolver isso verá que x = 4 (pronto, matou o problema)
Pois, substituindo a4 = 4 + 1 = 5, a5 = 16 + 4 = 20, a6 = 32 + 3 = 35
A soma dos termos da P.A é : Sn = ((an + a1) * n) / 2
Sn = ((-40 + 95 )* 10) / 2
Sn = 275
Gabarito letra d)
Bons estudos galera
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(2 + 8) / 2 = 4 ????????? kkkkkkkkkkk
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Mas gente ....kkkk
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2+6/2=4
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DETALHANDO O COMENTÁRIO DO NOSSO AMIGO RHUAN.
Em uma progressão aritimética, os termos opostos, ou equidistantes, ou seja, os que estão à mesma distância do termo central da PA, têm a mesma soma.
Exemplo: 2 , 4 , 8
(2 + 8) / 2 = 5
Agora vamos pra questão.
A sequencia dada pelo problema é: a4 = x + 1, a5 = x² + 4, a6 = 2x² + 3
Sabendo da propriedade dita:
a4 + a6 / 2 = a5
(x + 1) + (2x² + 3) / 2 = (x² + 4)
O 2 passa multiplicando: (x + 1) + (2x² + 3) = (x² + 4) x 2
(x + 1) + (2x² + 3) = (2x² + 8)
(x + 1) = (2x² + 8) - (2x² + 3)
(x + 1) = 2x² + 8 -2x² - 3
x + 1 = + 5
x = + 5 - 1
x = 4
Após resolver isso verá que x = 4 (pronto, matou o problema)
Pois, substituindo a4 = 4 + 1 = 5, a5 = 16 + 4 = 20, a6 = 32 + 3 = 35
Como podemos ver, o valor de r é 15
Achando o valor de a1:
a4 = a1 + (3 x r)
5 = a1 + (3 x 15)
a1 = 5 - (3 x 15)
a1 = 5 - 45
a1 = - 40
Achando o valor do TERMO GERAL:
an = a1 + (n - 1) . r
an = -40 + ((10 - 1) x 15)
an = -40 + (9 x 15)
an = -40 + (135)
an = 90
A soma dos termos da P.A é : Sn = ((an + a1) * n) / 2
Sn = ((-40 + 95 )* 10) / 2
Sn = 275
Gabarito letra d)
Bons estudos galera
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Segue um video com a explicação do exercício:
https://www.youtube.com/watch?v=5ZM3CHDh89s
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A média dos extremos é igual ao termo do meio
{(x+1) + (2x²+3)}/2
x+1+2x²+3= 2x²+8
x=4
a4= 5
a5= 20
a6= 35
razão da P.A: a5-a4 = 15
{-40,-25, -10, 5, 20, 35, 50, 65, 80,95}
Sn= [(an+a1)xn]/2 Sn= [(95-40) x 10]/2 Sn=275
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Foi uma briga para resolver, mas eu consigui aplicando uma propriedade e resolvendo uma simples equação.
Foco, força e fé! Continuemos na luta para a aprovação!
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Fiz, ae o resultado deu perto mas não deu exato dai refiz e vi que tinha errado na hora de uma simples soma kkkkk mas só marquei depois que refiz e estava Certa S10= 275
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( x+1 + 2x^ + 3 ) / 2 = x^ + 4
3x^ + 4 = ( x^ + 4 ) . 2
3x^ - 2x^ = 8 - 4
x = 4
a6 = 4 + 1
a7 = 4^ + 4
r = 15
a10 = 5 + 6.15
a1 = 5 - 3.15
sn = 10 . ( -40 + 45 ) / 2
sn = 275
É bom d+ junior!
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Apesar de ja existirem diversas explicações vou colocar mais uma para ajudar algum colega com dificuldade.
Para encontrar a razão:
a5-a4=a6-a5
(x^2+4)-(x+1)=(2x^2+3)-(x^2+4)
x^2+4-x-1=2x^2+3-x^2-4
x^2+3-x=2x^2-1
x^2-1-x^2-3+x=0
-4+x=0x
x=4
substituindo o x para achar a4, a5 e a6.
a4=x+1
a4=5
a5=4^2+4=20
a6=2*(4)^2+3=2*16+3=35
Agora precisamos achar o A1, usei o a4 no exemplo, mas poderia ter sido escolhido o a5 ou a6.
an=a1+(n-1)*r
5=a1+(4-1)*15
5=a1+45
a1= -40
Agora acharemos a10:
a10=a1+(n-1)*r
a10= -40+(10-1)*15
a10=- 40+ 9*15
a10= 95
Agora finalmente achar o que a questão está pedindo:
Sn= (a1+an)*n/2
S10=(-40+95)*10/2
S10= 550/2
S10=275
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O exercício deu três termos da PA
a4 = x+1
a5 = x2+4
a6 = 2x2+3
Em PA termo do meio é igual à média aritmética dos seus equidistantes, por isso para descobrir x podemos montar a seguinte equação:
x2+4 = (x+1) + (2x2+3)/2
2 x2 + 8 = x + 2x2 + 4
2 x2 - 2 x2 – x = 4 - 8
- x = - 4
X = 4
Agora que já sabemos o valor de x, podemos descobrir o a4, a5, a6
a4 = x+1
a4 = 4+1
a4 = 5
a5 = x2+4
a5 = 42+4
a5 = 20
a6 = 2x2+3
a6 = 2*42+3
a6 = 35
Pela sequencia que descobrimos, percebemos que a razão da PA é 15, pois de a4 para a5 somei 15; de a5 para a6 somei 15
Agora precisamos descobrir o a1 e o a10
Para descobrir o a1 podemos usar qualquer um dos três termos que encontramos, vou usar o a4:
a4 = a1 + 3r
5 = a1 + 3*15
5 – 45 = a1
a1 = - 40
a10 = a1 + 9r
a10 = -40 + 135
a10 = 95
Agora sim podemos descobrir a soma dos 10 primeiros termos:
S10 = n(a1 + a10)/2
S10 = 10 (- 40 + 95)/2
S10 = 10 (55)/2
S10 = 550/2
S10 = 275
Alternativa D
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Oi pessoal! Tudo bem com vocês!?
Quem puder dar uma força se inscrevendo no meu canal, ativando o sininho e indicando para os amigos, o link está abaixo. No mesmo, consta a resolução dessa questão da CESGRANRIO 2018.
https://www.youtube.com/watch?v=L_FtsXC-qi8
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A fórmula para a soma dos termos dessa questão é: a1+a10.10/2
Porém não sabemos o a1 nem o a10
Então vamos realizar aquela equação com três termos em sequencia
2x2+3+x+1=2.(x2+4)
Cortamos os 2x2
3+x+1=8
4x=8
x=4
Depois substituímos nos termos aonde tem x
x+1=5
x2+4=20
2x2+3=35
Então a razão é 15
Se o 4 termo é 5, o a1 é 5-3.r, ou seja=-40
Se o 6 termo é 35 o a10 é 35+4r, ou seja 95
Agora sim
-40+95.10/2
275
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A soma de 3 termos dividido por 3 é igual ao termo do meio
(a4 + a5 + a6) / 3 = a5
(x+1+x^2+4+2x^2+3) / 3 = x^2 + 4
(3x^2 + x + 8) / 3 = x^2 + 4
3x^2 + x + 8 = (x^2 + 4) . 3
3x^2 + x + 8 = 3x^2 + 12
Cancela o 3x^2 com o 3x^2
x + 8 = 12
x = 4
Então...
a4 = x+1 = 5
a5 = x^2 + 4 = 20
a6 = 2x^2+3 = 35
para descobrir a soma dos primeiros 10 termos, precisamos do a1 e do a10
temos 3 termos, fica fácil descobrir esses dois, já fica fácil ver que a razão é 15, então...
vou usar a4 pra descobrir, com o termo geral
5 = a1 + (4-1).15
a1= -40
agora o a10
a10 = -40 + (10-1) . 15
a10 = -40 +135
a10 = 95
agora podemos jogar tudo na fórmula da soma
Sn = (a1 + a10) . (n/2)
Sn = (-40 + 95) . (10/2)
Sn = 55 . 5
Sn = 275
Alternativa D - 275
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Uma alternativa ao método apresentado é: r = n+1 - n
r = x^2 + 4 - x + 1 (5 termo - 4 termo)
r = 2x^2 + 3 - x^2 - 4 (6 termo - 5 termo), sabendo que r não muda, ou seja, r=r
igualando a equação:
x^2 + 4 - x + 1 = 2x^2 + 3 - x^2 -4
resolvendo: x = 4
substituindo o x em qualquer uma das equações (ex: 4^2 + 4 - 4 + 1)
Achamos que r = 15
Depois achamos a1 e a10, aplicamos na soma dos termos e achamos a resposta - 275