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Boiei nessa...
O que aconteceu aqui?
Alguém pode dar uma força?
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Tentarei explicar sem o diagrama de venn. Sendo que o símbolo da interseção será " ^" , ok?
São três conjuntos, A, B e C. só que A e B são disjuntos, ou seja, não possuem interseções...o total dos elementos de todos os conjuntos é 150. A questão informa que o conjunto C faz interseção com A e B, e que B ^ C é de 20 elementos, e que essa interseção é o dobro de A ^ B, logo A ^ B é igual a 10.
Então, desenhamos os diagramas dos conjuntos A e B separados, depois desenhamos o diagrama do conjunto C, fazendo interseção com A e B.Agora é só preencher: temos que A^C = 10 e B^C = 20. Sabemos que o número de elementos em cada conjunto tem que ser igual. Para que a soma final fique em 150, levando à conta as interseções conhecidas, o valor de cada conjunto só pode ser "60". Se desenhar fica muito fácil. Como já temos 30 em C, das interseções, colocamos os 30 que faltam. Como já temos 10 em A, colocamos os 50 que faltam e como já temos 20 em B, colocamos os 40 que faltam. Ufa, tomara tenham entendido. Abraços.
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Considere que os conjuntos A, B e C tenham o mesmo número de elementos (deprende-se que A=B=C), que A e B sejam disjuntos (A & B não têm nada em comum), que a união dos três possuia 150 elementos (AUBUC=150) e que a interseção entre B e C (C/\B= 2*(A/\C)possuia o dobro de elementos da interseção entre A e C. Nesse caso, se a interseção entre B e C possui 20 elementos (B/\C=20)/(A/\C=10), então B tem menos de 60 elementos.
Considerando que 20 elementos de C estão contidos em B e 10 de A estãocontidos em C, cada 1 tem 60 elementos= 60*3= 180, com 30 elementos repetidos (180-30=150)
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Colegas Bruno e Glomy Gulch, tirem uma dúvida:
No meu esquema de diagramas cada conjunto ficou com 50 elementos. Eu considerei a união de A,B e C como total de elemento de todos os conjuntos.
A união de AUBUC não pode conter as interseções de A^C e B^C???
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Oi Mirela.
Olha só, você não pode considerar as interseções na soma dos conjuntos, pois daria duplicidade de elementos.
Os elementos das interseções já estão incluidos nos conjuntos, portanto, ao somar os conjuntos A, B e C todos os elementos já estarão incluidos, caso você ainda some os elementos das interseções dará duplicidade de elementos. (contribuição da Daniela, obrigado).
A fórmula correta para descobrir o número de elementos desta questão é:
A U B U C = A + B + C - A^C - B^C , logo, como A, B e C possuem o mesmo valor, podemos considera-los como sendo X:
150 = X + X + X - 10 - 20 , pois, AUBUC = 150, A^B = 10 e B^C = 20 (dados fornecidos pela questão)
150 = 3X - 30
3X = 180
X = 60 , número de elementos de cada conjunto
Espero ter ajudado.
Bom estudo !
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Ótimo comentário Icaro! Mas só corrigindo um detalhezinho... "você não pode considerar as interserções na soma dos conjuntos, pois daria duplicidade de elementos.". Deve-se considerar os elementos da intersecção SIM, somente 1 vez (porque ele pertence a 2 conjuntos, não devendo ser levado em conta 2 vezes), por isso faz-se a subtração para desconsiderar o que se repete. Se fossem contabilizados 2 vezes aí sim haveria duplicidade de elementos (como pertencendo a A e a C, ou então como pertencendo a B e a C).
Como não dá pra desenhar os conjuntos, vou enumerar passo a passo como se faz:
1º. A e B não possui elementos em comum (disjuntos)
2º. A e C; B e C possuem elementos em comum
3º. B ∩ C = 20
4º. A ∩ C = 10
5º. B - (B ∩ C) = 40
6º. C - (A ∩ C) - (B ∩ C) = 30
7º. A - (A ∩ C) = 50
Verifica-se assim que cada conjunto terá 60 elementos e que a soma desse elementos é igual a 150, pois subtrai os elementos que se repetem na intersecção: A + B + C - A ∩ C - B ∩ C (60*3 - 30)
Espero ter ajudado a esclarecer =D
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Bom dia!
* Considere ^ como interseção.
A fórmula completa: n(A U B UC) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ^ B ) - n(A ^ C) - n(B ^ C) + n(A ^ B ^ C).
B ^ C = 2 A^C
B ^ C = 20.
20 = 2 A ^ C. Logo, A ^ C = 10.
A e B são disjuntos ( não tem elementos em comum), portanto a interseção é 0.
n(A ^ B ^ C) não teremos interseção dos três elementos, logo a interseção é 0.
Jogando na fórmula:
150 = n(A) + n(B) + n(C) - 0 - 10 - 20 - 0 --------> 150 = n(A) + n(B) + n(C) - 30 ----------> n(A) + n(B) + n(C) = 180.
Como a questão nos dá a informação de que os conjuntos têm o mesmo número de elementos, podemos chamar n(A) = n(B) = n(C) = x.
x + x + x = 180 -------> 3x = 180 ------------> x = 60.
A questão afirma que B tem menos de 60 elementos. Dessa forma, a afirmação está errada porquanto temos exatamente 60 elementos.
Bons estudos !
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GALERA, CONSEGUIR ACHANDO TODOS OS ELEMENTOS DISJUNTOS ENTRE SI.!!!!
A+B+C= 150
B^C= 20
A^C= 10
LOGO, SOMANDO ESSAS 2 INTERSEÇÕES, PODEMOS CONCLUIR QUE C TEM 30 ELEMENTOS DISJUNTOS DOS DEMAIS.
ENTÃO:
C = 30
A= ?
B= ?
150-30= 120. PORTANTO, A+B TEM QUE DAR 120. E SE A e B SÃO DISJUNTOS EM SEU TOTAL, LOGO PODEMOS CONCLUIR QUE CADA ELEMENTOS TERÁ A METADE DE 120. OU SEJA, 60.
FICANDO, PORTANDO: TODOS DISJUNTOS EM:
A= 60
B= 60
C= 30
TOTAL A+B+C= 150.
COM ISSO CHEGAMOS A CONCLUSÃO QUE B TEM 60 E NÃO MENOS!!!!
B= 60 GABARITO ERRADO!!!!!
ESPERO TER CONTRIBUÍDO UM POUCO!!!!!!
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Prof. Ivan chagas. RESPOSTA
youtube.com/watch?v=DPZFrC1i4uc
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AUBUC = A + B + C - A^C - A^B - B^C + A^B^C
150 = X + X + X - 10 - 0 - 20 + 0
150 = 3X - 30
3X = 180
X = 60
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QUESTÃO SIMPLES.
A
B
C
A QUESTÃO DIZ QUE O TRIO SÃO IGUAIS.
150 É A INTERSEÇÃO (a, b e c)
20 B e C
10 é A e C, pois diz que B e C é o dobro de A e C
soma: 150+20+10=180
depois divide por 3 que é EXATAMENTE 60, e não menos que 60.
GAB E
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se colocar na formula da certo, no entanto não entendi , pois ele fala que os TRÊS CONJUNTOS TEM 150, então quando o pessoal ai somam os 20 e os 10 com 150, para mim estaria duplicando, pois os 150 já estão incluso os 10 e 20.
resumindo :os 150 já sao o total junto com as interseções .
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Olá pessoal,
Vejam o vídeo com a resolução dessa questão no link abaixo
https://youtu.be/DPZFrC1i4uc
Professor Ivan Chagas
www.youtube.com/professorivanchagas
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Excelente questão.
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Sem complicar.
Interseção de B e C = 2X ou X
Interseção de A e C = X ou X/2
A questão informou que B e C têm 20 elementos, portanto, A E C têm 10 elementos.
Prosseguindo, a questão informou que os conjuntos têm o mesmo número de elementos, então:
A + B + C - 10 - 20 = 150 (lembrando que - com - é +, permanecendo o sinal do maior)
A + B + C - 30 = 150
A + B + C = 150 + 30
A + B + C = 180
Como tem o mesmo número de elementos, é só dividir 180 por 3.
180/3 = 60
Ou seja, o conjunto B tem exatamente 60 elementos.
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Galera, vamos fazer os seguintes sistemas:
A + B + C + 30 = 150 (Os 30 se referem a interseção dado pela questão)
A+10 = B+20 (Esses valores são da interseção)
B+20 = C+30
A+10 = C+30
Agora é só isolar os termos, de modo que vc use apenas uma letra na equação principal, e após descobrir ela vc descobre as demais... Foi assim que eu fiz e deu certo. O resultado deu B=50, C=40 e A=50.