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Primeiro resolveremos a Inequação 2: x + 6 > -x + 10
x + 6 > -x + 10
x + x > 10 - 6
2x > 4
x > 4/2
x > 2
Agora, a Inequação 1: 5x - 7 > x^2 - x + 1
5x - 7 > x^2 - x + 1
0 > x^2 - x - 5x + 1 + 7
0 > x^2 - 6x + 8
Resolvendo por Bhaskara a Inequação 1:
x = (- b +- √b^2 - 4 * a * c) / 2 * a
x = (- (-6) +- √(-6)^2 - 4 * 1 * 8) / 2 * 1
x = (6 +- √36 - 32) / 2
x = (6 +- √4) / 2
x = (6 +- 2) / 2
x' = (6 + 2) / 2
x' = 4
x" = (6 - 2) / 2
x" = 2
Portanto, nosso conjunto solução
S1 = x > 2
S2 = 2 < x < 4
O número x tem que ser maior que 2 e menor que 4, então o número x, só pode ser 3.
x = 3.
Agora substituindo o x = 3 nas alternativas:
a) -x < -4 ☆ - 3 < - 4 FALSO
b) 4x -16 < 0 ☆ 4 * 3 - 16 < 0 ☆ 12 - 16 < 0 ☆ - 4 < 0 VERD.
c) x^2 -16 > 0 ☆ 3^2 - 16 > 0 ☆ 9 - 16 > 0 ☆ - 7 > 0 FALSO
d) x + 1 > x + 9 ☆ 3 + 1 > 3 + 9 ☆ 4 > 12 FALSO
e) 1/x < 1/4 ☆1/3 < 1/4 FALSO
Gabarito: Alternativa B
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Os colegas estão corretos nos cálculos, porém não afirmem que o número será o 3, apenas podemos utilizá-lo, pois no enunciado está dito que x é um número real, assim poderá ser qualquer valor compreendido entre 2 e 4, e temos infinitos números, entre eles o 3, por isso que utilizando o 3 também da certo. Abraços.
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Desenvolvendo as inequações:
-Inequação 1: 5x - 7 > x2 - x + 1
5x - 7 - x² + x - 1 > 0
-x² + 6x - 8 >0
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Utilizando a soma e produto para achar as raízes:
-Soma: - b / a
-6/(-1) = 6
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-Produto: c/a
-8/ (-1)= 8
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As raízes que somadas dão o número 6 e que o produto delas dá o número 8, são as raízes 2 e 4.
Portanto, para a inequação 1: 2 < x < 4.
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Inequação 2: x + 6 > -x + 10
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x + 6 + x -10 > 0
2x - 4 > 0
2x > 4
x > 2
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Portanto, a raiz comum as duas inequações:
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2 < x < 4
2 < x
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A alternativa "b": 4x -16 < 0
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4x < 16
x < 16/4
x < 4
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Está dentro da raiz comum da questão.
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Se x é um número real (portanto não é necessariamente 3) que é solução da inequação 2 (x > 2) também será solução da inequação 1 (2 < x < 4).
Se temos inicialmente x > 2 (solução da inequação 2) e também tem que ser solução da inequação 1 (2 < x < 4), logo o x deve ser x < 4.
Pois a intersecção de x > 2 com x < 4 resulta em 2 < x < 4.
Alternativa B!
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Meus sinceros parabéns a quem sabe resolver uma questão dessas.
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Resposta: alternativa B.
Comentário no canal “Professor Tiago Gomes” no YouTube: 15:54s
https://youtu.be/DBvYVc3Q69M
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Eu fiz na raça, testando números, para a inequação 1 e 2, X teria que ser igual a 3:
Testei a primeira equação com 1 e 2 e deram falsa.
Inequação 1: 5x - 7 > x2 - x + 1
5*3-7>3²-3+1 = 15-7>9-3+1 = 8>7
Inequação 2: x + 6 > -x + 10
3+9>-3+10 = 12>7
Depois foi só jogar o 3 nas equações e encontrar uma verdade.
a) -x < -4
-3<-4 (errado)
b) 4x -16 < 0
4*3-16<0
12-16<0
-4<0 (Certo)
c) x2 -16 > 0
3²-16>0
9-16>0
-7>0 (errado)
d) x + 1 > x + 9
3+1>3+9
4>12 (errado)
e) 1/x < 1/4
1/3<1/4
0,333<0,25 (errado)
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Errei por besteira, porque não tinha entendido o comando, mas essa é aquela questão que se for o único jeito, vale muito a pena ir por alternativa e erro. Quando você faz o cálculo da segunda inequação, vai verificar que o resultado será 2, logo de cara você já elimina a A, D e E. Ficando com duas alternativas fica fácil, depois é só colocar o 2 no lugar do X.
4x-16=0
4.2-16=0
8=16
16 dividido por 8 dá 2.
A letra C dá 4 o resultado.