y = 3sen(x) + 4cos(x)
y'=3*cos(x)-4*sen(x) =0 .... cos(x) = (4/3) * sen(x)
y''=-3sen(x) -4*cos(x)
y''=-3sen(x) -4*(4/3) * sen(x) = -9/3sen(x) -16/3* sen(x)
y''=-25/3 *sen(x)
Se 0 < x ≤ π ==> y''=-25/3 *sen(x) < 0 e será ponto de máximo
sen²(x)+cos²(x)=1
sen²(x) + [ (4/3) * sen(x)]²=1
sen²(x) + 16/9 * sen²(x)=1
(25/9) * sen²(x)=1
sen²(x)=9/25 ==> sen(x)=3/5 ( 0 < x ≤ π)
cos(x) = (4/3) * sen(x) =(4/3)* 3/5=4/5
y= 3 * 3/5 + 4 * 4/5
y=9/5 +16/5 =25/5 = 5 é a resposta
FONTE:
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Eu fiz por dedução, sei que deveria ser por derivação para achar o ponto de inflexão e tal, mas na hora da prova vale tudo.
Eu pensei assim, se vai ter 3.senx e 4.cosx, eles vão se somar em alguns pontos e se anularem em outros. Blz, se for no ponto 0, temos a resposta 4. Vamos avançar mais um pouco, para pi/2 ou 90 graus. Teremos 3.1 +4.0 = 3. Então de 0 para 90 graus ele já somou e esta começando a subtrair. O máximo vai estar nesta faixa. Se continuar com valores acima de 90 graus, teremos valores negativos, da parte negativa da onda. Queremos o máximo, então vamos ficar entre 0 e 90.
Se utilizar a metade(45 graus) obtemos: 3.raiz(2)/2 + 4raiz(2)/2 = 4,9. Se utilizar 60 graus, o valor já está menor, então, por suposição, o valor máximo vai ser de 5. O mais próximo de 4,9.