Questão 2672500

• Banca: CESPE / CEBRASPE
• Órgão: SEDUC-AL
• Ano: 2018
• Provas: CESPE - 2018 - SEDUC-AL - Professor - Matemática
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Álgebra Linear; Sistemas Lineares

Julgue o item que se segue, relativo a matriz e sistema linear.

Se 0 é a matriz nula n × n, se I é a matriz identidade n × n, e se P é uma matriz n × n tal que P² + 2P + I = 0, então P é inversível.

• C. Certo
• E. Errado

Gabarito: C

Comentários

• 1. Deeterminantes notáveis

  Det da matriz nula = 0

  Det da matriz identidade = 1

   

  2. Substituindo na formula da questão

  detp² + 2detp + 1 = 0 

   

  3. Achando as raízes det = -1 

   

  4. Conclusão: INVERSÍVEL, pois determinante é diferente de zero

• Talvez não seja tão simples. Qual o valor de Det(2P)? Depende da ordem de P (nxn).

  Então, Det(2P) = 2^n Det(P)

  
  

  Multiplicação de linha/coluna por uma constante 

  Quando multiplicamos uma linha/coluna por uma 

  constante, o determinante fica multiplicado por esta 

  mesma constante. 

  
  

  Multiplicação de matriz por uma constante 

  Quando multiplicamos uma matriz por uma constante, o 

  determinante fica multiplicado por esta mesma constante 

  elevada à ordem da matriz. 

• Eu entendo mais facilmente da seguinte forma:

  
  

  P² + 2P + i = 0

  
  

  o Determinante da matriz i (identidade) sempre será = 1

  Substituindo na fórmula temos:

  
  

  P² + 2P + 1 = 0

  
  

  Pela fórmula de Bháskara temos:

  
  

  Delta = b² - 4 a c (ou seja, 2² - 4 . 1 . 1 = 4 - 4 = 0)

  
  

  P = -b + ou - raiz de delta, dividido por 2 . a

  P = -2 +ou- raiz de 0 / 2 . 1

  P = -2 /2 = -1

  
  

  (nem há necessidade de fazer a conta, como delta deu 0, só haverá uma solução)

  
  

  Quando um sistema permite apenas 1 solução, significa que o Determinante é diferente de 0, sendo assim P é inversível, confirmando o enunciado.

  
  

  QUESTÃO CORRETA

  
  

• Acredito que há um problema na resposta do amigo Rodrigo, visto que para admitir o que ele considerou precisamos considerar Det (P^2 + 2P + I) como sendo igual a Det(P^2) + Det(2P) + Det(I), visto que o Det deve ser aplicado globalmente dos dois lados da igualdade e não em cada termo. Não podemos afirmar tal coisa, pois seria igual a dizer que Det (A+B) = Det(A) + Det(B) e essa propriedade não existe. Basta considerar duas matrizes simples 2x2 para ver que isso não é verdade. Acredito que trata-se de uma coincidência, até mesmo porque a única resposta que faria a sentença ser falsa seria Det(P) = 0.

• P^2 + 2P + I = O

  I = -P^2 -2P = (-P-2)P, P POSSUI INVERSA À ESQUERDA, PORTANTO É INVERTÍVEL