Questão 2672503

• Banca: CESPE / CEBRASPE
• Órgão: SEDUC-AL
• Ano: 2018
• Provas: CESPE - 2018 - SEDUC-AL - Professor - Matemática
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Álgebra Linear; Sistemas Lineares

Julgue o item que se segue, relativo a matriz e sistema linear.

Um sistema linear escrito na forma matricial PX = -X, em que P é uma matriz n × n de coeficientes constantes e X é a matriz das incógnitas, n × 1, tem solução única se, e somente se, a matriz P + I for inversível (I é a matriz identidade n × n).

• C. Certo
• E. Errado

Gabarito: C

Comentários

• Oremos.

• Independente do sistema, ele só possui solução única se a sua matriz P for inversível e tiver determinante diferente de zero.

• As vezes queria fazer um curso superior em matemática só pra aprender essas bruxarias aí srsrs

• PX = -X ou PX = -IX, logo PX + IX = N (matriz neutra) ou (P + I)X = N

  Para isolarmos o X no lado esquerdo da igualdade precisamos multiplicar os dois lados pela inversa de (P + I) o que "cortaria" o (P + I) do lado esquerdo ficando X = N(P + I)^-1, isso só pode acontecer se P + I admitir inversa.

• Nesse caso p=-1, e o determinante de I + (-1) = -1. como p e I são quadradas, logo p+I tbm e quadrada, portanto p+I e inversivel.

• Chegamos em (P+I) X = 0

  Portanto temos duas possibilidades:

  1) (P+I) = 0 e X é qualquer (então X não é unico)

  2) (P+I) != 0 e X=0, e X é unico igual ao vetor nulo

  para isso o deteminante de (P+1 ) tem que ser diferente de zero e então ela é inversível