Questão 2678440

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: Petrobras
• Ano: 2018
• Provas: CESGRANRIO - 2018 - Petrobras - Geofísico Júnior - Física
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Função Exponencial; Funções

Seja f:ℝ^*₊ → ℝ a função definida por f(x)=x³.ln(x).

Qual é o valor mínimo assumido pela função f?

• A.
• B. - 1/2e
• C. - 1/3e
• D. 1/√e
• E.
  

Gabarito: C

Comentários

• Alguém sabe a resolução?

• Seja f(x) = x³ * ln(x)

  vamos derivar essa função em relação a x : 

  df/dx = 3x² * ln(x) + x³*1/x = 3x²*lnx + x²

  igualamos essa derivada a zero para encontrar o(os) valor(es) de x que minimizam a função :

  df/dx = 0 >>> 3x² lnx + x² = 0

  colocando x² em evidência : x² ( 3lnx +1) = 0 . cuja solução é : 

  3lnx+1 = 0 >> lnx = -1/3 >>  x' = exp(-1/3) 

  e x" = 0 

  porém , a função está definida no conjunto R*+ . O asterisco * indica ausência do zero e só inclui valores postivos de x

  portanto , só levamos em conta a solução : x = exp(-1/3)

  substituindo esse valor na função , teremos : fmín = [exp(-1/3)]³ * ln[exp(-1/3)]

  fmín = 1/e* (-1/3) = -1/3e