Questão 2678470

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: Petrobras
• Ano: 2018
• Provas: CESGRANRIO - 2018 - Petrobras - Geofísico Júnior - Física
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Função Logarítmica; Funções

A função logaritmo natural, definida nos complexos, é dita plurívoca, pois, para cada complexo z, LN(z) assume diversos valores complexos. Se, por outro lado, restringem-se os valores dos argumentos de z no intervalo de -π a π, tem-se a função ln(z) chamada logaritmo principal do complexo z, com argumento no intervalo restrito.

Se i é a unidade imaginária, qual o valor de ln(i)?

• A. i
• B. -π
• C. iπ
• D.
  
• E. π/2

Gabarito: D

Comentários

• exp(i.π/2) = cos(π/2) + i.sen(π/2) -->

  exp(i.π/2) = i -->

  ln(i) = i.π/2 (Alternativa D)

• *Lembrando da identeidade de Euler --> e^(iπ) + 1 = 0

  e^(iπ) = -1

  *Tirando raíz dos dois lados

  (e^(iπ))^(1/2) = (-1)^(1/2)

  *Como i = (-1)^(1/2), então

  (e^(iπ))^(1/2) = i

  *Aplicando ln dos dois lados

  ln (e^(iπ))^(1/2) =ln i

  (1/2)* ln (e^(iπ)) =ln i

  *Resolvendo ln (e^(iπ)), temos

  ln (e^(iπ)) = x

  e ^x = e^(iπ)

  x = iπ

  Logo, ln (e^(iπ)) = iπ

  *Voltando no um passo atrás, e substituindo o valor encontrado

  (1/2)* ln (e^(iπ)) =ln i

  (1/2)* iπ =ln i

  Pronto..... ln i = (1/2) * iπ

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