Questão Q896955

Para que o gráfico da função f(x) = kx2 - 2kx + 1 seja uma parábola com concavidade para cima, intersectando o eixo em apenas um ponto, deve-se ter:

Alternativas

k < 0

0 < k <1

k > 1

k = 1

Comentários

Note que "apenas em um ponto", logo a luz da equação de segundo grau segue que x_1 = 1 + sqrt(2)*sqrt(k-1) e x_2 = 1 - sqrt(2)*sqrt(k-1), Se k < 0 a raiz não seria real, se k > 0 teriamos duas raizes e se k = 1 > 0 e a concavidade fica voltada para cima.
foco pm pe
Para que se tenha concavidade para cima, tocando em um ponto, Delta deve ser igual a zero.

Então,

f(x)=kx²-2kx+1 => Delta = b²-4ac = 0 => Delta=(2K)² - 4(K)(1) = 0

4k²-4K=0 => k=1 GABARITO: D
GABARITO – D

Resolução:

concavidade da parábola voltada para cima ≡ a > 0

⁞

Se a = k = 1 e 1 > 0, atende-se à condição.
Ele pediu o Xv do vertice que é dado por: -b/2.a -(-2)/2.1 = 1

só substituir.

Como o delta dar zero, ela só toca em um ponto, então vertice de x.
O exercício apresenta dois requisitos, que são satisfeitos da seguinte maneira:

I. Para termos a parábola com concavidade para cima (carinha feliz), é preciso que: a > 0

II. Para termos a intersecção do eixo em apenas um ponto, a função do segundo grau deve ter apenas uma raiz, ou seja: no método de Bhaskara, Δ = 0

Então vamos lá. Na função oferecida (f(x) = kx2 - 2kx + 1), para que a > 0, k > 0.

Para que Δ = 0, sendo que, segundo Bhaskara, Δ = b^2 - 4ac, depois de identificar os elementos a, b e c em nossa função quadrática, teremos que:

Δ = (-2k)^2 - 4.k.1 = 4k^2 - 4k = 4(k^2 - k)

Pegamos isso e igualamos a 0, para cumprir com nossa condição:

4(k^2 - k) = 0

Se um número natural é multiplicado por alguma coisa e dá 0, essa "alguma coisa" tem que ser 0. Ou seja:

k^2 - k = 0

k^2 = k

k = 1

GABARITO E

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