Questão 2706109

• Banca: FUMARC
• Órgão: CEMIG - MG
• Ano: 2018
• Provas: FUMARC - 2018 - CEMIG - MG - Analista de Gestão Administrativa JR
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Geométrica - PG; Progressões

Se os termos da Progressão Geométrica (a, b, c) são lados de um triângulo retângulo, então é CORRETO afirmar que a razão dessa Progressão Geométrica é um número

• A. irracional.
• B. múltiplo de 3.
• C. natural.
• D. racional.

Gabarito: A

Comentários

• Segue que a razão é b/a = r e e c/b = r.. agora temos que esses números são lados de um triangulo retângulo, ora, vou tomar c como a hipotenusa e segue c^2 = a^2 + b^2 .. Veja que a != 0 => a^2 != 0 e passa tudo por a^2 .. então (c/a)^2 = 1 + (b/a)^2 .. note que c=rb=r(ra)=(r^2)*a => r^2 = c/a. Substituindo temos que (r^2) ^ 2  - 1  - r^2 = 0.. chama r^2 = x para ficar mais fácil e temos uma equação de segundo grau x^2-x-1=0 cuja solução é x= 1 +- sqrt(5) .. bem, x = r^2 , então r = sqrt(1 +- sqrt(5)) e isso é um número irracional.  
  
  Letra A.

• Substituindo os termos da PG na equação do teorema de Pitágoras (a² = b² + c²)temos:

  
  

  (a3)² = (a2)² + (a1)²

  (a1q²)² = (a1q)² + (a1)² ( dividindo ambos os lados por por (a1)² )

  (q²)² = (q)² + 1 (substituindo q² por x)

  x² - x -1 = 0

  
  

  resolvendo por bhaskara temos: x' = (1+√¯5)/2

  x''= (1-√¯5)/2 (descartada pois nenhum numero real elevado ao quadrado dá resultado negativo)

  
  

  q² = (1+√¯5)/2

  
  

  sabendo que a raiz de 5 não pode ser expressado na forma de fração, sabemos que o valor de q é irracional.

  
  

  LETRA A