SóProvas

ID
2708725
Banca
Marinha
Órgão
CEM
Ano
2018
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

O núcleo da transformação linear T(x, y, z) = (x + y — z, x — y - z, αx + y + z), (x, y, z) ∈ ℝ3, tem dimensão 1. Sendo assim, pode-se afirmar que α é igual a:

Alternativas
Comentários

  • Núcleo de uma transformação linear

    Chama-se núcleo de uma transformação linear T : ao conjunto de todos os vetores V → W v ∈ V que são transformados em 0 ∈ W. Indica-se este conjunto por N(T) ou ker(T). N(T) = {v ∈ V/ T(v) = 0}  .

    Assim,

    alfa * x + y + z = 0 (1)

    x + y - z = 0 (2)

    x - y - z = 0 (3)

    Obs.: Está ordem não é importante pois trata-se da resolução de um sistema linear por substituição.

    Isolando x na Equação (3):

    x = y + z (4)

    Aplicando a Eq. (4) na Eq. (2):

    y + z + y - z = 0

    => 2y = 0 => y = 0

    Voltando a Eq. (4):

    x = z

    Aplicando na Eq. (1):

    alfa*z + z = 0

    => alfa = -1

  • Outra explicação...

    Pelo teorema do núcleo imagem (TNI), temos:

    dim (domínio) = dim (núcleo) + dim (imagem)

    Como dim(R3) = dim (dominio) = 3 e dim (nucleo) = 1, então dim(Imagem) = 2.

    Ou seja, haverá no máximo 2 vetores geradores e LI na base da Imagem.

    Como T é uma transformação linear, então ela preserva geradores, ou seja, leva um conjunto gerador em um conjunto gerador. Logo, sendo {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} a base canônica do R3, temos que { T(1,0,0), T(0,1,0), T(0,0,1) } será um conjunto de geradores para a Imagem de T, onde algum desses vetores será múltiplo do outro, pois pelo TNI, dim (Im T) = 2. Computando as bases, temos:

    T(1,0,0) = (1,1, alpha)

    T(0,0,1) = (1,-1,1)

    T(0,0,1) = (-1,-1,1)

    Logo, observamos que o conjunto {(1,-1,1), (-1,-1,1)} é LI então resta que fazendo alpha = -1, temos que T(1,0,0)=(1,1,-1) será múltiplo de T(0,0,1)=(-1,-1,1), pois

    T(0,0,1) . (-1) = T(1,0,0)

    Portanto,

    alpha = -1.