A equação diferencial tem a parte homogênea (1º membro) e a parte particular (2º membro). A solução geral da equação diferencial consiste na soma da solução homogênea com a solução particular.
1º Passo: Encontrar a solução homogênea: igualando o 1ª membro da equação diferencial (a parte homogênea) a zero (y" + 4y = 0).
A solução dessa parte homogênea faz-se com o auxílio da Equação Característica que será: w² + 0.w + 4 = 0 > w² + 4 = 0, (com w² = y", w = y').
As raízes dessa equação característica serão duas raízes complexas: (a + bi) e (a - bi), onde a encontrado foi 0 e o b foi 2. Isto é , as raízes complexas da equação característica foram: 0 + 2i e 0 - 2i.
A solução desse tipo de equação homogênea em que as raízes da Equação Característica são complexas é do tipo: y(x) = e^ax [A.sen(bx) + B.cos(bx)]. Substituindo, tem-se: y(x) = A.sen(2x) + B.cos(2x) - essa é a solução homogênea.
2º Passo: Encontrar a solução particular: que é do tipo mx + n, pois o 2º membro tem o formato de uma função linear.
Assim, aplicando a forma genérica à própria equação diferencial que a originou, isto é:
(mx + n)" + 0.(mx + n)' + 4.(mx + n) = x >>> 4mx + 4n = x >>> n = 0 e m = 1/4. Desta forma, a solução particular é do tipo g(x) = x/4.
Então, a solução geral será: f(x) = A.sen(2x) + B.cos(2x) + x/4.
Por fim, para encontrar f de pi. Basta calcular a derivada primeira e aplicar os valores.