Questão 2749315

• Banca: IDECAN
• Órgão: Colégio Pedro II
• Ano: 2015
• Provas: IDECAN - 2015 - Colégio Pedro II - Professor - Matemática
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Circunferências; Geometria Analítica

É dada a circunferência de equação x² + y² - 8x - 2y + 7 = 0.  A equação da reta que tangencia essa circunferência no ponto (3,4) é

• A. x - 3y + 9 = 0.
• B. 3x - y + 3 = 0.
• C. x + 3y + 3 = 0.
• D. x + 3y + 9 = 0

Gabarito: A

Comentários

• Como a equação da circunferência é dada por x^2 + y^2 - 8x - 2y + 7 = 0, podemos completar quadrados e desse modo encontraremos (x-4)^2 + (y-1)^2 = 10 que é equivalente a primeira equação.

  Note que a reta que tangencia a circunferência é perpendicular a reta que passa pelo centro da circunferência (4,1) e passa pelo ´ponto (3,4). Determinemos a sua equação através do determinante:

  x y 1

  4 1 1

  3 4 1

  Encontraremos y= -3x+13 e como é perpendicular a reta dada, o produto entre o seu coeficiente angular e o da reta dada é -1. Assim,

  -3.m=-1

  m=1/3

  substituindo na fórmula de coeficiente angular o coeficiente angular e o ponto (3, 4) que pertence a reta dada:

  1/3 = (y-4) / (x-3)

  -3y+x+9=0

  Uma outra forma de fazer é substituir as equações das alternativas na equação da circunferência e ver qual delas o delta daria igual a zero, pois aí a mesma seria tangente a circunferência.