Estas duas palavras - mas e mais - existem na língua portuguesa e estão corretas. Porém, os seus significados são diferentes e devem ser usadas em situações diferentes.
Mas é usado, principalmente, com sentido de porém, todavia, contudo.
Mais indica, principalmente, o aumento da quantidade, sendo antônima de menos.
Quando usar mas? Mas é usado principalmente como conjunção adversativa, indicando uma ideia de oposição. Pode ser substituído por porém, todavia, contudo.
Além de conjunção, mas também pode ser um substantivo comum ou um advérbio. Como substantivo se refere a um defeito, um senão. Como advérbio, dá ênfase a uma afirmação.
Quando usar mais? Mais transmite sempre uma noção de maior quantidade ou intensidade, de excesso. Pode ser um substantivo comum, uma conjunção, um advérbio de intensidade, uma preposição ou um pronome indefinido. No plural, pode significar também: os outros, os demais, os restantes.
Exemplos com mais:
Sílvia é a menina mais bonita da turma. Três mais três são seis. Vou mais minha irmã ao cinema. Isto é o mais que ele consegue fazer. Não faço mais nada do que for preciso. Vou embora, os mais que se decidam.