Resolvi com as propriedades da PA de segunda ordem.
Quem quiser aprender mais:
http://geniodamatematica.com.br/pa-de-segunda-ordem-ou-progressao-aritmetica-de-segunda-ordem/
Resolução
a1 = 1
a2 = 1 + 2
a3 = 2 + 3 + 4
a4 = 4 + 5 + 6 + 7
a5 = 7 + 8 + 9 + 10 + 11
Observe que não há propriamente neste momento uma PA. É uma simples sequência. Quando observamos o último número de a1 e se a ele somarmos 1 obtemos o último número de a2 que é 2, e se a ele somarmos +2 obteremos o último número de a3 e por ai vai, conforme abaixo:
a1 = 1( 1+1+=2)
a2 = 1 + 2 (2+2=4)
a3 = 2 + 3 + 4 (4+3=7)
a4 = 4 + 5 + 6 + 7 (7+4=11)
a5 = 7 + 8 + 9 + 10 + 11 (11+5=16)
(....)
Nesse caso, pegando somente os números em vermelho, obteremos uma PA de razão 1:
PA de 2ª ordem=(1,2,3,4,5,6....)
Usando a propriedade da PA de segunda ordem, (que é a PA que se extrai da primeira sequência) temos que:
an = a1|1ª ordem- próprio a1 da sequência trazida pela questão| + S(n-1) |2ª ordem|
Dentro da PA de Segunda Ordem:PA de 2ª ordem=(1,2,3,4,5,6....)
S(n-1) -> precisamos descobrir qual a soma desses termos.
Como a questão pede o A11 da primeira ordem, na fórmula acima usaremos o a10, pois na forma utilizamos a Soma de n-1. Descobrindo o A10 para jogarmos na fórmula da SOMA:
a10= a1 + (n-1)R
an = 1 + (10-1)R
an= 1+9
an=10
Aplicando a soma dos termos da Pa de 2ª ordem:
Sn = (a1 + a10)n
2
S10= (1+10)10
2
S10= 11 * 10/2=
S10= 11*5
S10= 55
Voltando à propriedade da PA de 2ª ordem:
An=a1 |1ª ordem| + S(n-1) |2ª ordem|
An= 1+ 55
An= 56
Agora que obtivemos o último número da sequência da primeira ordem, temos que:
a1 = 1
a2 = 1 + 2
a3 = 2 + 3 + 4
a4 = 4 + 5 + 6 + 7
a5 = 7 + 8 + 9 + 10 + 11
(...)
a11= ...................................+ 56
Como sabemos que an possui n números que o compõe, o a11 será composto igualmente pela soma de 11 números, sendo que o último deles é o 56.
56-11= 45+1 = 46
Assim a sequência de 11 números se inicia no 46 e vai até o 56. Agora basta aplicarmos as propriedades da soma de uma Pa de razão 1 para encontrarmos a resposta da questão:
Sn= (a1 + an)n
2
S11= (46 + 56) 11
2
S11= 102/2 * 11
S11= 51 *11
S11= 561, assim
a11= 561