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resolvi esta questão assim. numeros distintos 89 e 98.
a soma de 89+98=187 que divisivel por 11.
reposta certa item E.
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_ _ vai do 11 até o 99 tirando os números que tem "0"
soma dos termos de uma PA
(11+99)x89/2=4895 menos a soma dos números q têm "0"
(20+90)9/2=495
4895-495=4400
é divisível por 11, mas também é divisível por 5 e por 2.
Me ajudem se estiver errado, mas acho que esta questão tem algum problema.
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* Para A = 4:
S’ = 154 (que é divisível por 11)
* Para A = 5:
S’ = 165 (que é divisível por 11)
* Para A = 6:
S’ = 176 (que é divisível por 11)
* Para A = 7:
S’ = 187 (que é divisível por 11)
Podemos, então, perceber que S’ é divisível por “11” para qualquer valor de A entre 1 e 7, o que implica que S’ é divisível por “11”, quaisquer que sejam os valores de X e Y tais que (X+Y) >= 10.
Dessa forma, provamos que a soma de todos os números do conjunto P, qualquer que seja N, é divisível por “11”.
RESPOSTA: e)
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2.2) Calculando S’ = XY + YX, considerando (X + Y) >= 10
X Y
+
Y X
-----------------------------------
(X+Y + 1) (X+Y – 10)
OBS.: Perceba que, pelo fato de (X+Y) ser maior que 10, temos o “vai um” na adição. Portanto o primeiro termo fica somado a “1”, e o segundo termo perde a sua dezena, ou seja, é subtraído de “10”.
Como estamos considerando X diferente de Y, o menor valor possível para (X+Y) que seja maior ou igual a “10”, é “11” (que é encontrado quando um dos dois, X ou Y, é 5, e o outro é 6). O maior valor possível para (X+Y) que seja maior ou igual a “10”, é “17” (que é encontrado quando um dos dois, X ou Y, é 8, e o outro é 9). Então:
11 <= (X+Y) <= 17
com X e Y pertencentes ao conjunto dos números naturais.
Com isso, concluímos que (X+Y) tem, necessariamente, o “algarismo da frente” igual a “1”. Ou seja:
(X+Y) = 1A
onde A é um número natural entre 1 e 7.
1 <= A <= 7
Então:
S’ = (X+Y + 1)(X+Y – 10)
S’ = (1A + 1)(1A – 10)
S’ = [1(A+1)](A)
Onde, [1(A+1)] é o primeiro algarismo, e (A) é o segundo algarismo.
Substituindo os valores possíveis de A, temos:
* Para A = 1:
S’ = 121 (que é divisível por 11)
* Para A = 2:
S’ = 132 (que é divisível por 11)
* Para A = 3:
S’ = 143 (que é divisível por 11)
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Para mostrarmos que a soma S é divisível por “11” para qualquer valor de X e Y, basta provarmos que XY + YX é divisível por “11” para qualquer valor de X e Y, pois a parte da soma XX + YY é, evidentemente, divisível por “11” quaisquer que sejam X e Y.
2.1) Calculando S’ = XY + YX, considerando (X + Y) < 10
X Y
+
Y X
-------------------------
(X+Y) (X+Y)
OBS.: Perceba que, pelo fato de (X + Y) ser menor que “10”, não temos o “vai um” na adição.
Considerando X+Y = Z, temos que a soma S’ é:
S’ = ZZ
E portanto, essa soma é divisível por “11”, para todo valor de Z, ou seja, como Z = X+Y, a soma é divisível por “11”, para qualquer valor de X e Y tais que (X+Y) seja menor que 10.
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Eu fiz dessa maneira...
Considere que N é formado pelos algarismos X e Y. Portanto:
N = XY
com X e Y entre 1 e 9, e ambos (X e Y) pertencentes ao conjunto dos números naturais.
Com isso, temos que o conjunto P será:
P = {XY, YX, XX, YY}
Perceba que:
1)Se X = Y:
P = {XX, XX, XX, XX} , como no conjunto P não pode haver números iguais, temos que:
P = {XX}
Como XX é o único elemento de P:
S = XX
Onde S é a soma dos elementos do conjunto P
Logo,
* S é divisível por 2 apenas se X for par
Exemplo:
Se X = 2, temos:
S = 22, que é divisível por 2.
Contra-exemplo:
Se X = 3, temos:
S = 33, que NÃO é divisível por 2.
* S é divisível por 3 apenas se X + X = 2X for múltiplo de 3
Exemplo:
Se X = 6, temos:
S = 66, que é divisível por 3 (pois 6 + 6 = 12; e 12 é divisível por 3).
Contra-exemplo:
Se X = 2, temos:
S = 22, que NÃO é divisível por 3 (pois 2 + 2 = 4; e 4 não é divisível por 3).
* S é divisível por 5 apenas se X for 5
Exemplo:
Se X = 5, temos:
S = 55, que é divisível por 5.
Contra-exemplo:
Se X = 1, temos:
S = 11, que NÃO é divisível por 5.
* S é divisível por 7 apenas se X for 7
Exemplo:
Se X = 7, temos:
S = 77, que é divisível por 7.
Contra-exemplo:
Se X = 4, temos:
S = 44, que NÃO é divisível por 7.
* S é divisível por 11 para todo valor de X
Exemplo:
Se X = 2, temos:
S = 22, que é divisível por 11.
Contra-exemplo:
Não existe contra-exemplo nesse caso, pois, para qualquer valor de X, sempre encontraremos um número S divisível por “11”.
Para termos certeza de que a reposta correta é a alternativa “e)”, devemos mostrar que se X for diferente de Y, a soma de todos os elementos do conjunto P é, também, divisível por “11” para qualquer valor de X e Y.
2)Se X for diferente de Y:
P = {XY, YX, XX, YY}
Temos então:
S = XY + YX + XX + YY
Onde S é a soma dos elementos do conjunto P
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Outro modo de fazer (mais rápido)...
Considere N = XY
X é a dezena e Y é a unidade, ou seja:
N = 10.X + 1.Y
1) Se X = Y
P = {XX}
S = XX
onde S é a soma dos elementos do conjunto P
Portanto:
S = 10.X + 1.X
S = 11.X
Conclusão: Se X = Y, a soma dos elementos do conjunto P será sempre divisível por 11 para qualquer valor de X.
2) Se X for diferente de Y
P = {XY, YX, XX, YY}
S = XY + YX + XX + YY
onde S é a soma dos elementos do conjunto P
Portanto:
S = (10.X + 1.Y) + (10.Y + 1.X) + (10.X + 1.X) + (10.Y + 1.Y)
S = 10.X + 1.X + 11.X + 10.Y + 1.Y + 11.Y
S = 22.X + 22.Y
S = 22.(X + Y)
Conclusão: Se X for diferente de Y, a soma dos elementos do conjunto P será sempre divisível por 11 e por 2 para qualquer valor de X e Y.
RESPOSTA: A soma dos elementos de P, qualquer que seja N, é sempre divisível por 11.
OBS.: A soma dos elementos de P só é divisível por 2 se X for diferente de Y, ou se X = Y = 2.
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Consideremos x e y dois algarismos distintos.para a formação de números de 2 algarismo distintos usando x e y temos o seguinte:10x+y ou 10y + x (multiplicando o primeiro algarismo por 10, pois este é o das dezenas e somando o segundo algarismo, pois este varia de 0 a 9 e representa as unidades).Para isto ficar mais claro observe os exemplos:23 = 10 x 2 + 3 e 32 = 10 x 3 + 256 = 10 x 5 + 6 e 65 = 10 x6 + 5Prosseguindo...O conjunto P seria representado exatamente da seguinte maneira:P = {10x + y, 10y + x}(Lembre-se que os algarismos formadores dos números devem ser diferentes)para obter o resultado da questão deve-se somar os valores dos elementos de P, ou seja, 10x + y + 10y + x = 11x + 11y = 11(x + y), observe que, independentemente dos valores de x e y, o resultado, ou seja, a soma dos elementos de P será sempre um múltiplo de 11.alternativa E.
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fiz da seguinte maneira: de exemplo para N como 13 o conjunto P sera 13 e 31 a soma deles 44; outro N = 54 P sera 54 e 45 a soma deles 99; qualquer soma de P sera divisivel por 11
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Um exemplo para o número N pode ser o 23, pois é um número de 2 algarismos diferentes de zero. Desta
forma, o conjunto P é igual a {23, 32, 22, 33}, formado justamente por todos os números distintos de dois
algarismos e compostos pelos algarismos de 23. Se fizermos a soma de todos os números de P, encontraremos
a seguinte situação: ao somar 23 com 32, obtemos 55 que é divisível por 11; note que os números 22 e
33 também são divisíveis por 11; portanto, a soma 55 + 22 + 33 = 110 é divisível por 11. Devemos perceber
2
que para qualquer número de 2 algarismos diferentes de zero, esse fato se repete. Portanto, qualquer que
seja o número N, a soma de todos os números do conjunto P é divisível por 11. Portanto resposta (E) 11
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Considere um número N com exatamente dois algarismos diferentes de zero, e seja P o conjunto de todos os números distintos de dois algarismos formados com os algarismos de N, incluindo o próprio N. A soma de todos os números do conjunto P, qualquer que seja N, é divisível por
N= Dois números diferente de 0, pode ser qualquer número. EX: 12,15,99,75.
P= Todos os números distindo de dois algarismos formados através do conjunto N. Ou seja, tem que ser dois números distintos (não pode ser igual) e diferente de zero devido N não ter zero.
A palavra chave é conjunto. Se P for 21, o conjunto será (21,12) a soma é igual a 33 que é divisível por 11
Se foi 45 (45,54) soma é igual a 99/11=9
Qualquer número que você escolher, será dividido por 11.
Logo todas as somas do conjunto P são divisíveis por 11.
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Escolher um nº de 2 algarismo diferente de zero pra N ..... N=12
Através do nº N criar número pra P..... P={21, 11, 22}
21+11= 33 é /11
11 é /11
22 é /11
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Supondo X e Y algarismos de N Ex: 52 é da forma 10x5+2
Então N é da forma 10X+Y
Logo: o conjunto P pode ser ( XY, XX, YX, YY),
Somando os elementos de P temos
10X+Y
10Y+X
10X+X
10Y+Y
22X+22Y = 2x11x(X+Y)
mas se X=Y, N é da forma 10X+X = 11X
ou seja, 11 será múltiplo do valor da soma dos elementos de P para qualquer N, X ou Y
mas o 2 só será multiplo do valor da soma dos elementos de P só se X diferente de Y.
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Vinicius, também segui seu raciocínio inicialmente, porém, 33 e 99, que foram seus exemplos também são divisíveis por 3, que além do 11 também é alternativa de item. Nesse caso, teriam dois intens. corretos...
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tao de parabens, quem conseguiu achar um padrao pra resolver isso aqui,
todo mundo tentando explicar, porem ninguem conseguiu chegar ate agora a uma conclusao que ofereca apenas uma atlernativa.
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Pessoal,
O raciocínio do Charles e do Leandro foram muito bons.... De forma genérica é para resolver como fez o leandro.
Mas olhem essa sacada, como ficaria ridícula a questão:
Qual o primeiro número poderia ser N ? 11, concordam ? E o último 99.
Agora vamos formar o P a partir de 11. O conjunto P vai ser formado APENAS pelo 11 (único número que pode ser feito com o algarismos 1 e 1). A soma do conjunto P{11} = 11 - logo.... a resposta é 11
Lembrem que na questão ele diz que pode ser QUALQUER n... e o meu N foi 11 no exemplo.
Simples pacas né? É só ter a sacada na prova ;)
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Primeiramente, lembre-se: número é um símbolo que expressa valor, quantidade, medida, montante e etc. Já os algarismos são os símbolos, ou elementos, que formam o número. Ex. 123 (este é o número cento e vinte e três, o qual é formado pelos algarismos um, dois e três).
Diferença entre algarismo e número - https://www.youtube.com/watch?v=bVflARAxynE
Resolução desta questão em vídeo - https://www.youtube.com/watch?v=j6fMdKOBtpA
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N = números de 2 algarismos diferentes de 0, vou colocar os números 23
P= conjuntos do números distintos formados pelos números de N, contendo o próprio N; (23,22,33,32)
Ele quer saber o número que sempre poderá dividir a soma do conjunto P, para qualquer N.
Realizando essa soma o resultado será 110, logo esse número é divisivel pelos números 2, 5, 10 e 11. Apesar do 11 dividir não quer dizer nada ainda.
Agora se voce usar os números 11 como valor de N, teremos o seguinte conjunto para P (11). Tendo como único divisor o próprio 11. Então o único divisor que estará presente em todos os processos será o número 11. Resposta alternativa E. Obs, usando logo os algarismos 11, já mata a questão.
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Confundi na questão : soma dos números.
Entendi como soma dos elementos do conjunto, aí deu tudo errado mesmo.
Mas que esse enunciado é confuso, é...
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Olá, pessoal.
Espero contribuir para o entendimento da questão.
O que temos que levar em consideração é que o número tem apenas dois algarismos, ser diferente de zero é detalhe, uma coisa colocada para tirar a atenção mesmo hehehehe
Então, se é um número de dois algarismos, ele tem dezena e unidade, logo é do tipo A*10 + B*1, ou seja 10A + B (A e B são os algarismos).
Como P é o conjunto de todos os números que podem ser formados com os algarismos de N, ora, N tem apenas dois algarismos distintos, logo P também tem 2 números, que são: 10A + B e 10B + A.
Como quero somar os numeros do conjunto P, tenho (10A+B) + (10B+A)= 10A+B+10B+A= 11A + 11B = 11(A+B) Independenteme de quem sejam A e B.
Logo, vemos que a soma 11(A+B) é divisivel, em qualquer caso, apenas pelo numero 11.
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Todos número de 2 algarismos somado pelo inverso é divisível por 11, todo número de 2 algarismos iguais é divisível por 11. Afinal eles se complementam veja:
Ex1: 47/11 = 4 sobra 3; 74/11 falta 3 para resultar 7.
Ex2: 19/11 = 1 sobre 8; 91/11 falta 8 para resultar 9.