SóProvas

ID
2945836
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
PGE-PE
Ano
2019
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

A respeito da transformação linear T : R3 -> R3 , em que T(x, y, z) = (2x + y, 3y + 4z, 4x + 2y), julgue o item seguinte.

A dimensão da imagem de T é igual a 3.

Alternativas
Comentários

  • Não entendi direito porque 3 dimensões x,y,z largura,altura e comprimento .

  • O vetor X e Z são linearmente dependente, logo podemos representar um em função do outro, o q implica em T ser de 2° dimensão.

  • Marco Antônio, realmente no plano cartesiano mais comum e visível no mundo real, representamos perfeitamente bem os objetivos de um modo geral em 3 dimensões xyz(altura, largura e comprimento), no entanto, quando estudamos álgebra linear ampliamos o campo de atuação. Consideramos que o espaço pd conter infinitas dimensões. Logo o plano cartesiano seria um subconjunto do espaço.

  • A DIMENSÃO SERÁ DETERMINADA PELA QUANTIDADE DE VARIÁVEIS LIVRES.

  • Dimensão é o número de vetores com compõem a base. como temos dois vetores múltiplos desconsideramos um deles, sobrando 2.

  • UMA SOLUÇÃO:

    Basta escrevermos a transformação linear como uma soma de vetores com variáveis independentes. Assim,

    T(x, y, z) = (2x + y, 3y + 4z, 4x + 2y) = (2x, 0, 4x) + (y, 3y, 2y) + (0, 4z, 0) = x.(2,0,4) + y.(1,3,2) + z.(0,4,0).

    Logo, encontramos os seguintes vetores (2,0,4) , (1,3,2) e (0,4,0).

    Mas para ser base eles precisam gerar o espaço e ser linearmente independentes. Dessa maneira que fizemos a decomposição vimos que eles geram o espaço, mas ainda não pode ser base já que podem ser escritos como combinação linear, veja:

    (1/2) * (2,0,4) + (3/4)*(0,4,0) = (1,3,2). O que nos possibilita excluir o vetor (1,3,2) e concluir que uma possivel base para a imagem de T é { (2,0,4) e (0,4,0) }. Ou seja, dimensão T = 2, gabarito ERRADO.