Questão bem difícil, mas vamos lá:
Ct = 2q^3 – 2q^2 + 10,5q
Cmg = 6q^2 – 4q + 10,5 (oferta individual)
Cme = 2q^2 – 2q + 10,5 (p = Cme no LP)
A questão pede o equilíbrio de longo prazo, ou seja, quando a demanda de mercado Qdm cruzar pelo valor de Cme mínimo (oportunidade na qual não há lucro econômico, por isso se chama LP). Primeiramente precisamos identificar o valor de Cme mínimo no curto prazo, pois esse será igual no LP (pois o LP é a soma horizontal das curvas de Cme de CP, ou seja, o mínimo de Cme não muda nessa soma horizontal). O mínimo de Cme de CP se dá no cruzamento de Cmg com Cme:
Cmg = Cme
6q^2 – 4q + 10,5 = 2q^2 – 2q + 10,5
4q^2 – 2q = 0
4q^2 = 2q
4q = 2
q = 0,5
Com uma quantidade individual ofertada de 0,5, temos o mínimo do Cme, que é o valor mínimo de LP também.
Cme = 2(0,5)^2 – 2(0,5) + 10,5 = 0,5 – 1 + 10,5 = 10
Ou seja, o preço de LP deve ser igual a 10, pois o equilíbrio de LP se dá nesse valor.
Cme (mín) = P
10 = 60 – 1/50q
1/50q = 60 – 10
q = 2500
Ou seja, são necessárias 5.000 empresas produzindo individualmente 0,5 para se chegar na quantidade de equilíbrio de LP de 2.500.
Gabarito: D
Bons estudos!
Fala pessoal! Tudo beleza? Professor Jetro Coutinho na área,
para comentar esta questão sobre estruturas de mercado.
Bom, a questão nos dá a função custo das empresas componentes do mercado de empresas bem como a função demanda do mercado como um todo e pede para que encontremos o número N de empresas.
A primeira coisa que precisamos lembrar é que para encontrar o número de empresas precisamos encontrar, primeiro, a oferta do mercado. E a oferta do mercado é dado pelo custo marginal do mercado. Vamos lá!
C = 2q3 - 2q2 + 10,5q
Derivando (regra do tombo) para encontrar o custo marginal, temos:
Cmg = 6q2 - 4q + 10,5
Agora que encontramos o Cmg marginal (a oferta individual, de cada firma separadamente), precisamos também encontrar o Custo Médio. Isto porque a questão pede o número de empresas no equilíbrio de longo prazo. No longo prazo, o Cme mínimo de curto prazo será igual ao Cme mínimo de longo prazo.
Para encontrar o Cme mínimo de longo prazo, precisamos encontrar o Cme e, depois, igualá-lo ao Custo Marginal (pois quando Cme = Cmg, o Cme será mínimo). Assim:
C = 2q3 - 2q2 + 10,5q
Dividindo tudo por q, para obter o Custo Médio:
C = 2q3/q - 2q2/q + 10,5q/q
Cme = 2q2 - 2q + 10,5
Fazendo Cmg = Cme (para encontrar o Cme mínimo de curto prazo):
6q2 - 4q + 10,5 = 2q2 - 2q + 10,5
6q2 - 4q + 10,5 - 2q2 + 2q - 10,5 = 0
4q2 - 2q = 0
4q2 = 2q (dividindo os dois lados por q)
4q = 2
q = 0,5
Portanto, o Custo médio mínimo de curto prazo será atingido quando a quantidade produzida q for igual a 0,5. Mas vamos achar o custo médio mínimo de curto prazo, substituindo q = 0,5 na equação de CMe.
Cme = 2(0,5)2 - 2(0,5) + 10,5
Cme = 0,5 - 1 + 10,5
Cme = 10
Bom, o custo médio mínimo de curto prazo é igual a 10. Como, no longo prazo, o custo médio mínimo de curto prazo é igual ao custo médio mínimo de longo prazo, temos que CmeCP = CmeLP = 10.
Ok, então, CmeLP = 10.
O equilíbrio da concorrência perfeita se dá quando P = Cmg = Cme. isso significa que podemos igualar o preço ao CmeLP.
Rearranjando a função demanda:
Q = 3000 - 50p
Q - 3000 = -50p
-50p = Q - 3000
p = (Q-3000)/-50
P = -q/50 + 60
Igualando P = Cme:
-q/50 + 60 = 10
-q/50 = 10 - 50
-q/50 = -50
q = -50*-50
q = 2500
Assim, a quantidade de equilíbrio de longo prazo é de 2500 unidades ofertadas. Como vimos, no entanto, o Cme mínimo de LP acontece quando são produzidas 0,5 unidades (q = 0,5).
Fazendo 2500/0,5 = 5000
Ou seja, precisamos de 5000 empresas, com cada uma produzindo 0,5, para que possamos atingir as 2500 unidades ofertadas pelo mercado no longo prazo.
Questão bem trabalhosa. Na hora da prova, talvez valesse a pena deixar a questão em branco e/ou só fazê-la se houver tempo sobrando.
Gabarito do Professor: Letra D.