Fala pessoal! Tudo beleza? Professor Jetro Coutinho aqui, para comentar esta questão sobre oligopólios!
O oligopólio em Cournot é frequentemente colocado como um duopólio (temos 2 firmas, apenas). Neste tipo de oligopólio, A competição ocorre via quantidade e de maneira não-colusiva.
Assim como qualquer estrutura de mercado, o duopólio de Cournot estará em equilíbrio quando a Rmg = Cmg, razão pela qual precisaremos encontrar Rmg e Cmg do mercado.
Bom, mas vamos aos cálculos.
Segundo a questão nos informou, a demanda agregada do mercado (considerando as duas firmas) é:
Qt = 28 – P
Como Qt é a quantidade total. Podemos trocar Qt por Q1 mais Q2 (a quantidade produzida pelas firmas 1 e 2, respectivamente). Assim:
Q1 + Q2 = 28 - P.
Isolando o preço, temos:
P = 28 - Q1 - Q2
Show!
Agora, vamos calcular os custos marginais das firmas. Lembre que o custo marginal é a derivada do custo total. Assim:
O custo Total da Firma 1 é:
CT1 = Q12 +18Q1
Aplicando a regra do tombo, teremos:
Cmg1 = 2Q1 + 18
Agora, vamos ao custo marginal da segunda firma.
CT2 = 22Q2 + 1
Derivando:
Cmg2 = 22
Agora que já temos os custos marginais das empresas 1 e 2, vamos encontrar as Receitas Marginais. De forma semelhante ao custo marginal, a receita marginal é a derivada da receita total.
Por sua vez, a Receita Total é dada pelo Preço vezes a Quantidade. Assim: RT = P.Q
Já sabemos que o preço é igual a 28 - Q1 - Q2. E podemos substituir isso na fórmula da Receita Total.
Vamos encontrar a Receita Marginal da Primeira firma.
RT1= P.Q1
RT1 = (28 - Q1 - Q2).Q1
RT1 = 28Q1 - Q12 - Q1.Q2
RT1 = - Q12 + 28Q1 - Q1.Q2
Derivando pela regra do tombo, teremos:
Rmg1 = -2Q1 + 28 - Q2
Agora, vamos à Rmg da Segunda Firma:
RT2 = P.Q2
RT2 = (28 - Q1 - Q2).Q2
RT2 = 28Q2 - Q22 - Q1.Q2
RT2 = - Q22 + 28Q2- Q1.Q2
Derivando pela regra do tombo, teremos:
Rmg2 = -2Q2 + 28 - Q1
Agora, podemos partir para Rmg = CMg.
Comecemos pela primeira firma!
Rmg 1 = Cmg 1
Rmg1 = -2Q1 + 28 - Q2
Cmg1 = 2Q1 + 18
Igualando um ao outro:
-2Q1 + 28 - Q2 = 2Q1 + 18
-4Q1 + 10 - Q2 = 0
-4Q1 = (Q2 - 10)
4Q1 = -Q2 + 10
Q1 = (-Q2 + 10)/4
Q1 = -0,25Q2 + 2,5
Agora, vamos à segunda firma!
Rmg2 = -2Q2 + 28 - Q1
Cmg2 = 22
Fazendo Rmg2 = Cmg2, temos:
-2Q2 + 28 - Q1 = 22
-2Q2 + 28 - 22 - Q1 = 0
-2Q2 + 6 - Q1 = 0
-2Q2 = Q1 - 6
2Q2 = -Q1 + 6
Q2 = (-Q1 + 6)/2
Q2 = -0,5Q1 + 3
Substituindo, Q2 na fórmula de Q1, teremos:
Q1 = -0,25Q2 + 2,5
Q2 = -0,5Q1 + 3
Q1 = -0,25(-0,5Q1 + 3) + 2,5
Q1 = 0,125Q1 - 0,75 + 1,75
Q1 = 0,125Q1 - 1,75
Q1 - 0,125Q1 = 1,75
0,875Q1 = 1,75
Q1 = 2
Achando Q2:
Q2 = -0,5(2) + 3
Q2 = -1 + 3 = 2
Achando o Preço do Mercado:
P = 28 - Q1 - Q2
P = 28 - 2 - 2
P = 24
Agora já temos todas as variáveis para trabalhar. Para encerrar a questão, precisamos calcular o lucro das duas firmas e tirar a diferença entre eles.
O Lucro é a diferença entre a RT e o CT. Começaremos pelo Lucro da empresa 1:
Lucro 1 = RT1 - CT1
Lucro 1 = P.Q1 - Q12 +18Q1
Lucro 1 = 24.2 - (22 + 18(2)
Lucro 1 = 48 - (4 + 36)
Lucro 1 = 48 - 40 = 8
Agora, vamos ao lucro da empresa 2:
Lucro 2 = RT2 - CT2
Lucro 2 = P.Q1 - (22Q2 + 1)
Lucro 2 = 24.2 - (22.2 + 1)
Lucro 2 = 48 - (44 + 1)
Lucro 2 = 48 - 45 = 3
Portanto, Lucro 1 = 8 e Lucro 2 = 3.
A diferença entre elas será: 8 - 3 = 5.
Assim, a diferença de lucros é de 5 unidades monetárias.
Gabarito do Professor: Letra D.