Caro colega Edimar, a questão pergunta se, ao nível do produto máximo (133), a produtividade marginal é 20.
Produtividade marginal será a primeira derivada de Y em relação a X (insumo), como você disse. Resolvendo X na primeira derivada, encontramos x1 = 0 e x2 = 20. Substituindo as raízes na derivada, encontramos que a produtividade marginal é zero para ambos os valores de x. Assim, para o produto máximo, a produtividade marginal é zero. já o insumo, X, é 20.
GAB: ERRADO
Complementando!
Fonte: Celso Natale - Estratégia
Assertiva: Ao nível do produto máximo, a produtividade marginal é igual a 20. (ERRADO)
O produto máximo ocorre quando o produto marginal é zero, e não 20. Afinal, se o produto marginal é 20, significa que adicionando mais insumo, obteremos 20 unidades a mais de produto.
CÁLCULO:
Encontrar o produto máximo
1° PASSO - Começamos derivando a função de produção:
- Y = x^2 – 1/30x^3 → expoente desce multiplicando o "X" e no lugar dele fica o seguinte resultado (2-1) e (3-1)
- Y' = 2X – 3(1/30x^2)
- Y' = 2X - 3/30x^2 → Multiplicando “3” por “1/30”:
- Y' = 2X – 1/10x^2
O que temos em mãos é a função de produção marginal, que basta igualarmos a zero para saber qual é a quantidade de insumo (X) que resulta na produção máxima (Y):
2° PASSO - Fórmula de Báskara ou fatoração - já que temos uma equação do segundo grau
Perceba o “X” está multiplicando todos os elementos da esquerda, isso significa que podemos reescrever a função assim:
Como temos uma multiplicação, há duas formas de seu resultado ser zero: se o primeiro elemento (X) for zero, ou se o segundo elemento (2 - 1/10X) for igual a zero.
Se “X” for igual a zero, a produção será zero, então essa não pode ser nossa resposta. Isso porque além do produto marginal ser zero, é necessário que ele seja decrescente.
Portando vamos usar o “segundo elemento”:
Vou começar colocando o termo que multiplica “X” do outro lado:
E agora, vou multiplicar os dois lados por “10”, para me livrar da fração:
Portanto, 20 é a quantidade do insumo “X” que maximiza a produção. Era aí que a questão queria te confundir. A produtividade marginal é zero, e não 20.
=-=-=
DICAS:
A – Quando a curva de produto marginal passa de seu ponto máximo o produto total passa a crescer mais lentamente.
- A.1 Portanto, a inclinação da curva de produto total diminui nesse ponto, e a produção desacelera, mas continua crescendo.
B – Quanto a curva de produto marginal cruza a curva de produto médio, esta passa a decrescer.
- B.1 Por isso, quanto o PMg fica menor do que o PMe, os dois são decrescentes.
C – Quando o produto marginal se torna negativo, o produto total começa a diminuir.
- C. 1 Então, quando o produto marginal é zero, o produto total está em seu nível máximo.
- C. 2 Além disso, enquanto o produto marginal for positivo, o produto total estará crescendo.
=-=-=
PRA AJUDAR!
Q994526
Fala pessoal! Tudo beleza? Professor Jetro Coutinho na área,
para comentar esta questão sobre Teoria da Produção.
Aqui, não é necessário fazer cálculos. Isto porque o produto total será máximo quando a produtividade marginal for igual a ZERO. Pmg = zero significa que um acréscimo de um fator de produção não aumenta a produção total.
E isso ocorre
exatamente quando a produtividade marginal é igual a ZERO, já que se a produção é máxima ela não aumenta (pois já está no máximo). E, se a produção está no máximo, acrescentar um fator de produção a mais não fará diferença, pois já estamos no máximo de produção possível.
Se a
produtividade marginal for igual a 20, significa que uma unidade de insumo
adicionada eleva a produção em 20 unidades.
Ora: se a
produção pode ser elevada, é porque ela ainda não é máxima!
Gabarito do Professor: ERRADO.