Questão 3002614

• Banca: Marinha
• Órgão: CEM
• Ano: 2019
• Provas: Marinha - 2019 - CEM - Primeiro Tenente - Para todas as Engenharias
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Seno, Cosseno e Tangente; Trigonometria

Considere a função f (x) = sin x, π/4 ≤ x ≤ 3π/4 e o conjunto

A = {(x,y) ∈ R² : π/4 ≤ x ≤ 3 π/ 4, 0 ≤ y ≤ /(x)} .Assinale a opção que expressa o volume do sólido obtido pela rotação de A em torno do eixo dos x. 

• A. π + 2/4
• B. √2
• C. π/4 (π + 2)
  
• D. π√2
• E. 2π√2

Gabarito: C

Comentários

• O volume de um sólido em relação ao eixo X é V = pi*int(f(x)²)dx com o intervalo de integração no eixo x.

  Então:

  V = pi*int(sin²(x))dx essa integral só sai por relação trigonométrica, onde:

  sena.senb = 1/2*(cos(a-b) - cos(a+b))

  Assim: V = (pi/2)*int(cos(x-x) - cos(2x))dx

  o primeiro termo fica cos(0) = 1.

  Fazendo a substituição 2x = u e fazendo as integrais resulta.

  pi/2*( x - 1/2*sen2x) variando x de 3pi/4 a pi/4

  pi/2*(3pi/4 - pi/4) + pi/4*sen(2*3pi/4) - pi/4*sen(2pi/4)

  resolvendo tudo (sen(3/2pi) = -1 e sen(pi/2) = 1)

  V = pi/4(pi+2)

  Letra C