Eu fiz assim, se estiver errado por favor me corrijam.
(I) x2 - bx +15 = 0 (b ∈ IR) cujas raízes são os números reais α e β (α < β)
b = α + β
15 = α . β
(II) x2 + kx + 15 = 0 (k ∈ IR)
-k = x + x'
15 = x . x'
"Sabe-se que as raízes da equação (I) são, cada uma, 8 unidades menores do que as raízes da equação (II)"
então:
x = α + 8
x' = β + 8
substituindo as raízes:
-k = ( α + 8 ) + ( β + 8)
15 = ( α + 8) . ( β + 8)
desenvolvendo o produto teremos:
15 = α β + 8 α + 8 β + 64 α β = 15
15 = 15 + 8 (α + β) + 64 α + β = b
-64 = 8 (b)
b = -8
substituindo na soma da primeira equação
-8 = α + β
15 = α . β
α = -3 e β = -5
com isso descobre-se que k = -8
Analisando as alternativas
A "b^3 − k é um número negativo."
(-8)^3 - (-8) = -504
(correta)
B "O valor absoluto da diferença entre as raízes da equação (I) é 1"
α - β = (-3) - (-5) = 2
(incorreta)
C "As raízes da equação (II) NÃO são números primos."
as raízes da equação (II) são
x = 5 e x' = 3 os dois são números primos
(incorreta)
D "α^2 − β^2 é um número que é divisor de 8"
α^2 − β^2 = (-3)^2 - (-5)^2 = -16
(incorreta)
(I) x2 - bx +15 = 0
Soma- -b/a = b/1 = b
Produto- c/a = 15/1 = 15
(II) x2 + kx + 15 = 0
Soma- -b/a= -k/1= -k
Produto- c/a = 15/1 = 15
Como sabemos que as raizes de iI são somadas 8 a mais que a I
(a + 8) + (b + 8) = -k
(a + 8) . (b + 8) = 15
Podemos desenvolver a soma e o produto...
a+b + 16 = -k -------- a+b = -k - 16
ab + 8b + 8a + 64 = 15 ---------- ab + 8(a + b) = -49
Agora, devemos substituir os valores de I na equação II, ou seja , a+b = b e a.b = 15
ab + 8(a + b) = -49
15 + 8b = -49
8b = -49 - 15
8b = -64
b= -8
a+b = -k - 16
b= -k - 16
b=-8
-8=-k-16
k= -8
A- (-8) 3 -(- 8)
-512 + 8
-504
letra A