Questão 3256213

• Banca: COVEST-COPSET
• Órgão: UFPE
• Ano: 2019
• Provas: COVEST-COPSET - 2019 - UFPE - Economista
• Disciplina: Economia
• Assuntos: Estruturas de Mercado; Microeconomia; Teoria da produção

Uma empresa monopolista depara-se com uma curva de demanda dada por p(q) = (640/q)^1/2. Sua funçãocusto é C(y) = 4y. O preço e a quantidade que maximiza o lucro são, respectivamente:

• A. 5 e 25.
• B. 7 e 20.
• C. 8 e 10.
• D. 10 e 15.
• E. 12 e 16.

Gabarito: C

Comentários

• Para obtermos a receita, multiplicamos o preço pela quantidade:

  R = (640/q)^(1/2)*q = (640q)^(1/2)

  Em um monopólio, o lucro é maximizado quando Rmg = Cmg. Como a função custo é 4y, então Cmg = 4:

  Rmg = (1/2)*(640/q)^(1/2) = 4

  (640/q)^(1/2) = 8

  q^(1/2) = (640/64)^(1/2)

  q = 10

  Agora é só substituir o q na equação p(q) dada na questão:

  p = (640/10)^(1/2) = 8

  Acho que fica meio difícil de entender escrevendo as equações desse jeito kkkkkk

• Fala pessoal! Tudo bem? Professor Jetro Coutinho na área, para comentar esta questão sobre Teoria dos Custos.
  
  
  A questão nos deu uma função demanda e nos pede para encontrar qual a quantidade produzida e o preço que maximizam o lucro.
  
  
  Para isso, precisamos lembrar que a empresa maximiza o lucro quando a receita marginal (Rmg) é igual ao Custo Marginal (Cmg). Então, precisamos encontrar a Receita Marginal e o Custo Marginal.
  
  
  A Receita Marginal é a derivada da Receita Total. Então, encontramos, primeiro, a Receita Total. Depois, derivado e encontramos a Receita Marginal. A Receita Total (RT) é o preço multiplicado pela quantidade. Assim:
  
  
  RT = P.Q
  
  
  A questão nos deu o preço (640/q)^1/2. Dessa forma, basta substituirmos isso na função RT.
  
  
  RT = (640/q)^1/2.q
  
  
  Assim:
  
  
  RT = [640^1/2/q^1/2].q
  
  
  Podemos substituir o "1/q^1/2" por "q^-1/2" (algebricamente, é a mesma coisa). Assim:
  
  
  RT = 640^1/2.q^-1/2.q
  
  
  
  Quando não há expoente explícito, isso significa que a variável está elevada a 1. Assim:
  
  
  RT = 640^1/2.q^-1/2.q¹
  
  
  Multiplicando:
  
  
  RT = 640^1/2.q^1/2
  
  
  Colocando tudo sob o mesmo expoente:
  
  
  RT = (640q)^1/2
  
  
  Agora, precisamos derivar a RT acima, aplicando a regra do tombo (isto é, tombando o expoente e, depois, retirando uma unidade dele).
  
  
  RT = (640q)^1/2
  
  
  Derivando (primeiro passo, passar o expoente multiplicando):
  
  
  Rmg = 1/2.(640q)^1/2
  
  
  Agora, retirando 1 unidade do expoente:
  
  
  Rmg = 1/2(640q)^1/2-1
  Rmg = 1/2(640q)^-1/2
  
  
  Pronto! Encontramos a Rmg. Agora, vamos encontrar o Cmg.
  
  
  O Cmg é a derivada do custo total (CT). O CT a questão nos deu: C = 4y
  
  
  Derivando, temos que Cmg = 4.
  
  
  Assim, igualamos Rmg com Cmg:
  
  
  Rmg = Cmg
  1/2.(640q)^-1/2 = 4
  
  
  Passando o 1/2 para o outro lado:
  
  
  (640q)^-1/2 = 8
  
  
  Elevando os dois lados ao quadrado:
  
  
  [(640q)^-1/2]² = (8)²
  
  
  Do lado esquerdo, multiplicamos os expoentes (-1/2 vezes 2 = -1). Do lado direito, apenas aplicamos o expoente. Teremos:
  
  
  640q^-1 = 64
  
  
  Passando o q dividindo para o outro lado:
  
  
  640 = 64.Q
  Q = 640/64 = 10.
  
  
  Agora, basta substituir Q = 10 na função demanda. Teremos:
  
  
  P = (640/Q)^1/2
  P = (640/10)^1/2
  P = (64)^1/2 = 8.
  
  
  Portanto, P = 8 e Q = 10.
  
  
  
  
  Gabarito do Professor: Letra C.