f(x)=y e f-1(y)=x, ou seja, f-1(f(x))=x
Está tudo em função de x, agora deriva dos dois lados uma vez e aplica 1, acha g'(x)=1/2
Depois faça o mesmo processo, mas agora duas vezes pra ser g''(x). Isola e pronto.
Pela Regra da Derivada de Funções Invesar: g'(f(x)) = 1/f '(x) ;
Fazendo a segunda derivada de g(x), temos:
(Aplicando regra da cadeia)
g''(f(x)) * f '(x) = (-1) * ( (f ' (x))^^(-2) ) * f ''(x)
Aplicando os valores:
g''(f(x)) * 2 = (-1) * ( (2)^^(-2) ) * (- 16)
g''(f(x)) = (-1) * (- 16) / ( 2 * ( (2)^^(+2) ) )
g''(f(x)) = 16 / ( 2 * ( 4 ) )
g''(f(x)) = 2
Letra C
A derivada segunda g’’(1) pode ser encontrada pela regra da cadeia.
Sei que são muitos índices, mas respire fundo.
[g’(f(1))]’ = g’’(1)*f ’(1)
Aí temos que encontrar o lado esquerdo (pois o enunciado nos fornece o valor de f ’(1) = 2). Inicialmente substituímos o valor de f(1) = 1 dentro da função g'
[g’(f(1))]’ = [g’(1)]’ (Mas quem é g’(1)????)
Como g é a inversa de f, tem-se que g ’(x) = 1/f ’(x). Aí, substituindo na expressão acima:
[g’(1)]’ = [1/f ’(1)]’ (nessa parte tenha calma e NÃO saia substituindo o valor de f ’(1) dado!! Teremos que fazer a derivada do quociente... um saco, mas só assim)
- [1/f ’(1)]’ = {[1]’*f ’(1) – 1*f ’’(1)}/{f ’(1)}²
- [1/f ’(1)]’ = {0*2- 1*(-16)}/2² = 4
Aí voltemos lá para a equação 1ª (a tricolor)
[g’(f(1))]’ = g’’(1)*f ’(1)
4 = g’’(1) * 2
g’’(1) = 2
Credo!! Nem é tão bizarra, mas atente que precisava saber regra da cadeia, a função inversa aplicada à regra da cadeia, a derivada do quociente (que é oriunda da regra da cadeia...). Resumindo, tem que saber REGRA DA CADEIA e ter muita calma para não substituir os valores na hora errada, lembrando que se trata de funções e atenção redobrada com os índices.
Caso visualizem algum erro, pls, tell me. Deu um senhor trabalho escrever com esses destaques e posso ter deixado passar algo. Tentei fazer colorido pq qdo fui fazer, me irritei muito e se vc estiver revolts com esse monte de índice, precisa que esteja tudo muito claro.
=)