Questão 32794

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: Petrobras
• Ano: 2008
• Provas: CESGRANRIO - 2008 - BR Distribuidora - Analista de Sistemas Júnior - Infra-Estrutura
• Disciplina: Raciocínio Lógico
• Assuntos: Análise Combinatória em Raciocínio Lógico

Quantos são os números naturais pares que se escrevem (na base 10) com três algarismos distintos?

• A. 256
• B. 288
• C. 320
• D. 328
• E. 360

Gabarito: D

Comentários

• Não entendi o gabarito.
  Para mim, seria 10x9x8 (3 numeros distintos na b10) /2 = 360
  Alguem tem idéia da resposta?
  abs
• Diniz, eu tbm não entendi, por que na verdade o resultado que eu achei foi o da alternativa "C".
  
  Veja bem: ela pede três números naturais pares e distintos certo?
  
  Vamos dizer que a máscara desses números fosse: XYZ.
  
  Como o número é par, então eu tenho para Z = {0,2,4,6,8};
  Como é um número de três algarismos, então pra X = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, excluindo o zero, senão vira número com 2 algarismo;
  Finalmente para Y = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
  
  Agora, temos que lembrar que são números distintos.
  
  z = 5 possibilidades, pois é par;
  X = (9 - 1) possibilidades, não pode começar por zero e (-1) por que já foi usada uma possibilidade acima;
  Y = (10 - 2)possibilidades, pois já foram utilizadas duas possibilidades acima.
  
  Então o produto disso é: 8 x 8 x 5 = 320.
  
  RESPOSTA: "C".
  
  Como não bateu o resultado, se eu estiver errado, por favor, me avisem!!! Bom estudo pra todos!!!
• Pessoal,
  
  A resposta é letra D. Vejam:
  
  X = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} - 9 números
  Y = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} - 10 números
  Z = {0,2,4,6,8} - 5 números
  
  Quando X for ímpar temos apenas 10 possibilidades de números repetidos.
  Tomando o número 1 como exemplo, temos: 100, 110, 112, 114, 116, 118, 122, 144, 166, 188.
  
  Quando X for par temos 18 possibilidades de números repetidos.
  Tomando o número 2 como exemplo, temos: 200, 202, 212, 220, 222, 224, 226, 228, 232, 242, 244, 252, 262, 266, 272, 282, 288, 292.
  
  YZ = 10*5 = 50
  
  Eliminando os números repetidos:
  50-10 = 40
  50-18 = 32
  
  Quando X for ímpar, temos 5 números.
  XYZ = 50*40 = 200
  
  Quando X for par, temos 4 números.
  XYZ = 40*32 = 128
  
  Somando: 200 + 128 = 328
• acho q tenho uma forma mais fácil para exemplificar:
  
  -consideremos a ordem xyz para os algarismos
  -nesses casos é melhor isolar o último número(z).
  -o número é formado por algarismos distintos (não se repetem)
  -O zero não pode ocupar a primeira casa por não tem valor a esquerda
  
  -sabendo que para a primeira casa temos 9 opções de números;
  para a segunda temos 10 opções de números; e para a última temos 05 opções, entao temos:
  
  1) z = 0 => 09 opções para x e 08 opções para y, temos 9x8=72
  2) z = 2 => 08 opções para x e 08 opções para y, temos 8x8=64
  3) z = 4 => 08 opções para x e 08 opções para y, temos 8x8=64
  4) z = 6 => 08 opções para x e 08 opções para y, temos 8x8=64
  5) z = 8 => 08 opções para x e 08 opções para y, temos 8x8=64
  
  somando-se essas possibilidades temos 72+64+64+64+64= 328 alternativa correta: letra d)
  
  espero q tenha ajudado
  
  
  
• Hola gente.
  
  Temos 5 dígitos pares a saber {0,2,4,6,8}. Um número para ser par deve obrigatoriamente terminar por um desses dígitos pares. Temos no total 10 dígitos, ou seja, os pares mais os ímpares {1,3,5,7,9}.
  Vamos fazer de dois modos.
  
  1.º modo: façamos 3 celas pois o número tem três dígitos.
  -- -- --, na última cela colocamos os 5 dígitos pares, assim:
  -- -- -5-, na primeira cela colocamos 10 - 1 = 9 dígitos, pois os 5 dígitos no final contam como se fossem um só,
  -9- -- -5-, na cela do meio colocamos 9 - 1 = 8 dígitos.
  -9- -8- -5-, pelo Princípio Multiplicativo, fica:
  9*8*5 = 360.
  Agora muita atenção devemos descontar os números pares que começam por zero, pois na realidade 038 é um número de dois algarismos. Certo?
  -0- -8- -4-, 8*4 = 32, então: 360 - 32 = 328, letra D.
  
  2.º modo:
  
  -9- -8- -0-, ==> 9*8*1 = 72
  -8- -8- -2-, ==> 8*8*1 = 64
  -8- -8- -4-, ==> 8*8*1 = 64
  -8- -8- -6-, ==> 8*8*1 = 64
  -8- -8- -8-, ==> 8*8*1 = 64, logo: 72 + 4*64 = 328, letra D.
• Bem, não encontrei uma fórmula "prática" para resolver a questão, porém empiricamente chega-se a seguinte conclusão:
  são 9 centenas, pois não se pode iniciar com o número 0 (zero). (900 números)
  são 50 números pares por cada centena.(900 - (50 x 9) = 450)
  tem-se que: nas centenas iniciadas por números ímpares (1,3,5,7,9), teremos sempre 10 números a serem retirados dos que nos servem (exemplos na 1ª centena = 100, 110, 112, 114, 116, 118, 122, 144, 166, 188. 3ª centena = 300, 322, 330, 332, 334, 336, 338, 344, 366, 388.). Percebe-se que segue uma ordem lógica.
  logo: 450 - (10 x 5) = 400 números que ainda nos servem.
  Porém, quando as centenas forem iniciadas por números pares teremos que retirar 18 números dos 50 pares da centena (exemplo: 6ª centena = 600, 606, 616, 622, 626, 636, 644, 646, 656, 660, 662, 664, 666, 668, 676, 686, 688, 696.).
  são 4 centenas iniciadas com números pares 2, 4, 6, 8. Logo 400 que nos sobraram - (18 que não nos servem x 4 que é o número de centenas iniciadas por pares) = 400 - (18 x 4) = 400 - 72 = 328. E eu não tava acreditando neste resultado.
  Trabalhoso, mas o que não é???
  É melhor alguém fazer um comentário mais prático, porém bem explicado, pois, os que aqui estão... são péssimos!!!
• Olá amigos, eu entendi a "pegadinha" desta questão.
  Vamos ao cálculo, incluindo o 0 p/ terceira casa decimal:
  
  Universo para a casa da unidade: (5 possibilidades)
  {0,2,4,6,8} (o número deve ser par)
  Para as casas da dezena e centena o universo de possibilidade nos seria dado por ARRANJO :
  A(9,2) = 9!/7! = 9x8 = 72
  Multiplicando com as possibilidades da unidade, fica
  72x5 = 360.
  Pois bem, acontece que o ARRANJO calculado inclui o 0 na casa da centena. Portanto, o que nos resta fazer é subtrair de 360 a quantidade de possibilidades em que o 0 entraria na centena, o que nos daria:
  casa da centena: {0} = 1 possibilidade
  casa da dezena: 8 possibilidades (10 números - 1 número da centena (0) - 1 número da unidade)
  casa da unidade: 4 possibilidades
  ou seja: 1x8x4 = 32
  Subtraindo 32 de 360 temos..... 328!
  
  Essa eu também errei, mas aprendi! :)
• Eu errei...mas depois entendi o raciocínio...a pegadinha é não poder ter o 0 na centena...
  
  então eu achei mas fácil separar o zero...vejam:
  
  _ _ _ => supondo o zero na unidade => -8- -9- -1-
  
  _ _ _ => supondo o zero na dezena => -8- -1- -4-
  
  _ _ _ => as outras possibilidades => -7- -8- -4-
  
  1º - 8*9*1 = 72
  2º - 8*1*4 = 32
  3º - 7*8*4 = 224
  
  Resultado = 72+32+224 = 328 LETRA "D"
• Também caí nessa "pegadinha".Questão muito boa.
  
  Temos que analisar que existem 2 possibilidades.Uma com o zero na casa da unidade e uma sem o zero na casa da unidade.
  
  Se colocarmos o zero na casa da unidade,teremos 9(1 a 9) opções na casa da centena e 8 opções na casa da dezena.
  
  9 x 8 x 1 = 72
  
  Se não usarmos o zero na casa da unidade, teremos 4 opções(2,4,6 e 8) para casa da unidade,8(não pode começar com zero e nem repetir o da casa da unidade) na centena e 8(pode colocar o zero,mas não pode repetir o numero da casa da unidade e o da centena) na casa da dezena
  
  8 x 8 x 4 = 256
  
  Possibilidade 1 + Possibilidade 2 = Total
  72 + 256 = 328
• Resolvi assim,
  Possibilidades dos números do centena e Dezena e unidade:
  Par + Par + Par
  Par + ìmpar + Par
  Ímpar + Ímpar + Par
  Ímpar + Par + Par
  
  Agora é só calcular para cada uma as possibilidades!
  PAR + PAR + PAR
  = cada dezena terá 3 possibilidades!(204,206,208)
  = São 4 dezenas possiveis (20X,24X,26X e 28X)
  =Sao 4 Centenas possíveis (2XX,4XX,6XX e 8XX)
  
  então para o Par+PAr+PAr teremos 3x4x4 = 48
  
  Par+ Ipar + Par
  = cada dezena terá 4 possibilidades
  = São 5 dezenas possíveis (1,3,5,7,9)
  =São 4 centenas possíveis (2,4,6,8)
  
  então para o Par+Impar+PAr teremos 4x5x4 = 80
  
  Repitam o raciocínio para os outros dois que dará:
  Ímpar + Ímpar + PAr = 100
  Ímpar + PAr + PAr = 100
  
  Soma os quatro = 48 + 80 + 100 + 100 = 328
  
• Resolvi assim,Possibilidades dos números do centena e Dezena e unidade:Par + Par + ParPar + ìmpar + ParÍmpar + Ímpar + ParÍmpar + Par + ParAgora é só calcular para cada uma as possibilidades!PAR + PAR + PAR= cada dezena terá 3 possibilidades!(204,206,208)= São 4 dezenas possiveis (20X,24X,26X e 28X)=Sao 4 Centenas possíveis (2XX,4XX,6XX e 8XX)então para o Par+PAr+PAr teremos 3x4x4 = 48Par+ Ipar + Par= cada dezena terá 4 possibilidades= São 5 dezenas possíveis (1,3,5,7,9)=São 4 centenas possíveis (2,4,6,8)então para o Par+Impar+PAr teremos 4x5x4 = 80Repitam o raciocínio para os outros dois que dará:Ímpar + Ímpar + PAr = 100Ímpar + PAr + PAr = 100Soma os quatro = 48 + 80 + 100 + 100 = 328
• Total de algarismos possíveis são 10 ( 0,1,2,3,4,5,6,7,8, 9)
  
  Entre as opções de análise, usaremos ARRANJO de 10 algarismos, tomados 3 a 3 (visto que a ordem dos algarismos importa)
  A10,3 = 10! / (10-3)!
  A10,3 = 10! / 7!
  A10,3 = 10.9.8.7! / 7! = 10.9.8
  A10,3 = 720 elementos
  
  Dentre estes 720 elementos, apenas metade deles são pares, teremos 360 (= 720/2) números pares.
  PORÉM, dentre os 360 números pares, estão incluídos aqueles que começam em zero (exemplo: 021, 073, 084,...), o que os tornariam números de 2 algarismos apenas. DESTA FORMA, teremos que removê-los do total de elementos (usando comentário muito bem escrito do Rodrigo Luiz Ferreira da Silva, abaixo):
  
  casa da centena: {0} = 1 possibilidade
  casa da dezena: 8 possibilidades (10 números - 1 número da centena {0} - 1 número da unidade)
  casa da unidade: 4 possibilidades {0,2,4,6,8} - {0} que estará na centena => {2,4,6,8}
  total de possibilidades com zero no começo: 1x8x4 = 32
  
  Excluindo-se 32 de 360 temos 328 números naturais pares com 3 algarismos distintos
  
• Resolvi da seguinte forma:Se o número tem que ser par, deve terminar com 0,2,4,6 ou 8.Como são números de 3 algarismos, o primeiro nunca poderá ser "0".Terminados com "0" temos 9 possibilidas para a primeira casa e 8 para a segunda, já que os números devem ser distintos;9*8=72 possibilidadesTerminados com 2,4,6,8 temos 64 possibilidades para cada; 72+64+64+64+64=328
• tem forma de resolução adotada por gente aqui que demoraria 3 horas...o mais simples é assim:número par, então termina com 2/4/6/8/0tês algarismos na base 10 (não pode ser 01, 001, etc)possibilidades que terminar com 0: qualquer um dos outros 9 numeros:(123456789) multiplicado pela possibilidade do segundo algarismo: todos os anteriores menos um(que foi usado na possibilidade anterior):9-1=8multi´plica-se as possibilidades: 9*8=72(possibilidades de numeros pares terminados em zero com 3 algarismos distintos)= 72agora os que terminar com 2/4/6/8:para o 1º digito: todos os números (menos o 0, que não pode iniciar) e menos um, que será o numero par que ficará no ultimo digito8 possibilidades para o 2º digito: todos, menos um par e mais o zero, que agora pode aparecer.8 possibilidades de novopara o terceiro digito:qualquer um dos pares, menos o zer, que já foi contado: 2/4/6/84 possibilidades:8*8*4=256256 mais as 72 possibilidades terminadas em zero:328
• Inicialmente, devemos observar que não podemos colocar o zero como primeiro algarismo do número. Como os números devem ser pares, existem apenas 5 formas de escrever o último algarismo . Contudo, se colocamos o zero como último algarismo do número, nossas escolhas para distribuição dos algarismos mudam. Portanto, podemos pensar na construção desse número como um processo composto de 2 fases excludentes entre si.Fixando o zero como último algarismo do número, temos as seguintes possibilidades de escrever os demais algarismos:1º algarismo: 9 possibilidades ;2º algarismo: 8 possibilidades , porém excluímos a escolha feita para o 1º algarismo;3º algarismo: 1 possibilidade (fixamos o zero).Logo, há 9 x 8 x 1 = 72 formas de escrever um número de três algarismos distintos tendo o zero como último algarismo.Sem fixar o zero, temos:3º algarismo: 4 possibilidades 1º algarismo: 8 possibilidades , excluindo a escolha feita para o último algarismo;2º algarismo: 8 possibilidades , porém excluindo as escolhas feitas para o primeiro e último algarismos.Portanto, temos 8 x 8 x 4 = 256 maneiras de escrever um número de três algarismos distintos sem zero no último algarismo.Ao todo, temos 72 + 256 = 328 formas de escrever o número.
• Não mudando a forma de raciocínio das respostas anteriores, mas, apenas descrevendo uma forma de visualizar que facilitou meu entendimento e, talvez, possa ajudar mais alguém:1) Fixa 0 no final => 9 x 8 x 1 = 722) Fixa 2 no final => 8 x 8 x 1 = 643) Fixa 4 no final => 8 x 8 x 1 = 644) Fixa 6 no final => 8 x 8 x 1 = 645) Fixa 8 no final => 8 x 8 x 1 = 64Raciocínio para o item 2) 1o alg: nao posso usar "0"; nao posso usar "2" -> 82o alg: nao posso usar "2"; nao posso usar "1o alg"; posso usar "0" -> 83o alg: num "2" fixo -> 1Obs: iens 2 a 5 seguem o mesmo raciocínio
• Realmente a resposta é a letra D, veja:
  
  Obs.: X,Y,Z é a quantidade de números possíveis de usar
  
  Usando o principio multiplicativo seria:
  
  Sempre se começa pela restrição. A restrição é de que a unidade - no caso a letra Z - deve ser (0,2,4,6 ou 8). Além disso, o número tem de ser com três algarismos, então a centena não pode começar com 0, com isso temos que tirar uma possibilidade da centena, então, somando-se todas as possibilidades temos:
  
  ( X . Y . Z =8 ) + ( X . Y . Z=0) + ( X . Y . Z=6) +( X . Y . Z=4) + (X . Y . Z=2)   =  (8.8.1)+(9.8.1)+(8.8.1)+(8.8.1)+(8.8.1) = 64+72+64+64+64  = 328
  
  Explicando melhor :
  
  (8. 8 . 1)<=> 9 possibilidades de 1 a 9 menos a restrição  x  10 possibilidades menos as 2 restrições  x  1 possibilidade de usar o numero oito
       +
  (9. 8. 1)<=> 9 possibilidades de 1 a 9, zero não é restrição para a centena  x  10 possibilidades menos as 2 restrições o zero e outro qualquer  x  1 possibilidade de usar o numero zero
      +
  (8. 8 . 1)<=> 9 possibilidades de 1 a 9 menos a restrição  x  10 possibilidades menos as 2 restrições  x  1 possibilidade de usar o numero seis
      +
  (8. 8 . 1)<=> 9 possibilidades de 1 a 9 menos a restrição  x  10 possibilidades menos as 2 restrições  x  1 possibilidade de usar o numero quatro
      +
  (8. 8 . 1)<=> 9 possibilidades de 1 a 9 menos a restrição  x  10 possibilidades menos as 2 restrições  x  1 possibilidade de usar o numero dois

• O melhor comentário é o do diegocrf sobrenome. 

   

• Alguém poderia, por gentileza, me explicar porque tem que isolar o zero?

  Por que não poderiam ficar 5 possibilidades (0, 2, 4, 6, 8) na casa da unidade?

• professor JUCILANDIO SOUZA no youtube explica bem essas questões

• galera, lembrem-se sempre do ZERO, ele é TODO ESPECIAL nesse tipo de questão, o que vc precisa fazer é SE LIVRAR DELE PRIMEIRO. Veja como:

  ___x___x_0__

  na composição dos números de 3 algarismos, eu JÁ começo colocando o zero na terceira posição, justamente pra saber log quantos números de 3 algarismos terminam em zero.

  portanto, eu calculo as possibilidade: 9*8*1 (esse 1 corresponde a possibilidade da posição ocupada pelo zero), assim, existem 9*8 = 72 números naturais de 3 algarismos terminados em zero.

  Maravilha, o problema do zero foi resolvido. Vamos aos demais algarismos:

  ___x___x___

  perceba que sobraram só 4 algarismos pares {2,4,6,8}, logo, eu tenho 4 possibilidades para a terceira posição do número (ou a primeira, se vc olhar da direita pra esquerda rs), ou seja, existem 4 possibilidades pra casa das unidades, logo, para a casa das CENTENAS, eu terei de fazer 10 - 1 (esse 1 é justamente o algarismo utilizado na casa das undades), porém ainda tenho que retirar o zero da jogada, pois não se inicia a composição de um número de três algarismos com o zero, pois, se assim o fizermos, esse número acabará com apenas 2 algarismos, assim 10 -1 -1 = 8 possibilidades para a casa das centenas. E pra finalizar, quantas possibilidades temos para a casa das desenas? bem, já usamos 2 algarismos, o que está na casa das unidades e o que está na casa das centenas, porém, observe que aqui na casa das dezenas não há restrição de uso para o ZERO, ele pode ser usado no meio do número livremente, por exemplo: 106, 204 etc, portanto eu continuo com 8 possibilidades para a casa das dezenas, assim:

  8*8*4 = 64 * 4 = 256

  somo esses 256 com os 72 números que terminam em zero pra inalizar

  256 + 72 = 328