Gab. C: Em dois pontos
Segundo a equação reduzida da circunferência, notamos que seu centro possui coordenadas C(2,3) e seu raio mede 2.
Falar em interseção é falar em cruzamento, possuir pontos em comum, ou seja, a parábola e a circunferência se interceptarão nos pontos em que suas respectivas coordenadas "x" e "y" forem iguais.
Em outras palavras, e matematicamente falando, é possível encontrar os pontos de interseção igualando a equação da parábola com a equação da circunferência.
Substituindo a equação da parábola na equação da circunferência, temos que (x-2)² + ((x²-4x+7)-3)² = 4.
Não é preciso desenvolver a equação para percebermos que se trata de uma equação do quarto grau, afinal, x².x² = x⁴.
Uma equação do quarto grau possui até quatro raízes reais. Perceba, até quatro raízes, mas não necessariamente todas as quatro.
As raízes dessa equação do quarto grau nada mais são do que as coordenadas "x" dos pontos em comum entre a parábola e a circunferência, conhecê-las nos possibilitaria responder a questão. Atente-se que não é preciso, sequer, saber o valor de cada uma, basta conhecer quantas são.
Entretanto, não é possível saber quantas raízes essa equação possui sem resolvê-la, então não temos como afirmar quantas são. Supor a quantidade é o mesmo que responder a questão no chute.
Como não é trivial resolver uma equação do quarto grau, nos resta tentar resolver a questão de outra forma. E aqui entra a "criatividade" - o desenvolvimento desta questão não é intuitivo, mas possível se sairmos utilizando os conhecimentos que soubermos. É meio que vou sair testando as coisas que sei, vai que dá em algo.
Encontrando as coordenadas "x" e "y" do vértice da parábola, através de suas respectivas fórmulas, têm-se V(2,3). Coordenadas idênticas ao centro da circunferência C(2,3)!
Ou seja, a parábola tem vértice no centro da circunferência, de modo que cada uma de suas duas hastes vai interceptar, necessariamente e uma única vez, a circunferência. É possível chegar a essa conclusão através da visualização de um desenho que você faça.
Independentemente da forma que você desenhe a parábola saindo de dentro da circunferência, a partir do centro, obterá esse resultado.
Portanto, perpassando a geometria analítica e a geometria plana, descobrimos que as duas curvas se interceptam em dois pontos, quais sejam:
- Ponto de encontro entre a circunferência e uma haste da parábola;
- Ponto de encontro entre a circunferência e a outra haste da parábola.
Por derradeiro, vale salientar que, em que pese o vértice da parábola corresponder ao centro da circunferência, é ponto pertencente a parábola, mas não a circunferência. O ponto central de uma circunferência é utilizado apenas para fins de referência, parâmetro. Não é, propriamente dito, um ponto pertencente a circunferência.
eu respondi assim:
pontos de interseção são onde elas têm os pontos em comum( o ponto A(x , y) da parábola, também pertence à circunferência)
então é só igualarmos as duas equações: y = x² – 4x +7 e (x -2)² + (y -3)² -4=0
x² – 4x +7 = (x -2)² + (y -3)² -4
resolvendo isso encontra: y²-3=0
isso é uma equação do 2º grau.. onde
a=1 b=0 c=-3
resolve por baskara e vai encontrar duas raizes, que correspondem aos 2 valores das ordenadas dos 2 pontos onde a parábola e a circunferência se cruzam.
e como a questão não pediu quais os pontos e sim quantos são.
Resposta: 2