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Gabarito (b)
Questão um pouco complicada.
I = 10,25% (0,1025)
i = ?
t = a.a -> a.s = 2 semestres
1 + I = (1 + i )t
1 + 0,1025 = (1 + i)2
1,1025 = 1 + i2
raiz de 1,1025 = 1 + i
1,05 = 1 + i
i = 1,05 - 1
i = 0,05 ou 5%
Achamos a porcentagem equivalente semestralmente.
5% de 100000 = 5000
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Pensei de outra forma:
Há uma fórmula de PERPETUIDADE, que é apresentada no livro MATEMÁTICA FINANCEIRA - ASSAF NETO, do qual é assim expressa:
PV=PMT/i
Se PV = 100.000, e i=4,976%a.s., então:
100.000 = PMT/0,04976
PMT = 4976,00
Aproximando-se, então, a 5.000,00
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Não é tão complicada assim. Precisa saber da fórmula da Perpetuidade A=P/i e fazer a conversão dos juros anuais para semestrais. Se jogar a taxa anual na fórmula vai achar a alternativa D como resposta e a vontade de marcar vai ser quase irresistível.
Conversão: [(1+ianual) "elevado à 1" = (1+isemestral) "ao quadrado"] ==> (1+0,1025) = (1+i) "ao quadrado" ==> i semestral = 0,05.
Fórmula da Perpetuidade: A=P/i
A = valor do título (100.000)
P = valor a ser recebido semestralmente nesse caso
i = taxa semestral
100.000=P/0,05
P=5.000.
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Prezados, cuidado!
(1+i)² não é igual a 1 + i²
Vai cair numa equação de 2º grau: (a+b)² = a² + 2.a.b + b²
Bons estudos!
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Achar a raiz quadrada de 1,1025 na mão é complicado, então segue uma dica:
1,1025 ... tem 4 decimais, então o resultado terá 2 decimais
1,___ ___. Agora encontre um número cujo o dobro é 10 e que elevado ao quadrado dá 25.... Pronto!
1,05
Bons estudos
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O jeito é saber calcular a raiz sem calculadora mesmo! Para quem se interessar: https://www.youtube.com/watch?v=3K9F9haugUI
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Para iniciarmos a
resolução da questão, precisamos converter a taxa de juros anual em semestral,
tendo em vista que o fluxo de pagamentos é semestral, sendo assim:
iq =[(1+i)^1/q]-
1
q = número de capitalizações.
i = 10,25% a.a. = 0,1025
q = 1 ano (2 semestres)
i2 = [(1+0,1025)^1/2]-
1
i2 = [(1,1025)^1/2]-
1
i2 = 1,05 – 1
i2 = 0,05 = 5%
ao semestre.
Como o fluxo de pagamentos é perpétuo, duração infinita, sem
limite, então o valor presente (VP) se transforma em:
VP = R / i, sendo R o valor de cada pagamento por período e i
a taxa de juros.
Substituindo os dados na
fórmula, temos:
VP = R/i
100.000 = R/0,05
R =
5.000,00
Gabarito: Letra “B”.
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Essas raízes que sempre caem tem que tá decorado já!!!
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Temos VP = 100.000 reais e j = 10,25% ao ano. Se houvesse sido pedido o fluxo de pagamentos anual, ou renda anual R, teríamos:
R = VP x j
R = 100.000 x 10,25% = 10250,00 reais
Veja que a alternativa D apresenta essa resposta, para pegar os candidados mais desatentos. Entretanto, temos um detalhe: apesar de a taxa de juros ser anual, definiu-se que as rendas são semestrais. A taxa de juros semestral que é equivalente a 10,25% ao ano é dada por:
(1 + j) = (1 + 10,25%)
(1 + j) = 1,1025
(1 + j) = 1,05
j = 5% ao semestre
Portanto, a renda semestral é:
R = VP x j = 100.000 x 5% = 5000 reais
Resposta: B