CT = 20 + 16Q + 2Q² (I)
Q = 100 - (1/2)P (II)
Substituindo (II) em (I), tem-se:
CT = 20 + 16 * (100-0,5P) + 2 (100-0,5P)²
CT = 20 + 1600 - 8P + 20000 - 200P + 0,5P²
CT = 0,5P² - 208P + 21620
A condição de lucro maximizado se dá quando Rmg = Cmg.
Cmg = P - 208 (III)
A receita total (RT) é o produto do preço pela quantidade.
RT = P*Q = P * (100-0,5P) = -0,5 P² + 100 P
Rmg = 100 - P (IV)
Igualando (III) = (IV), tem-se:
P - 208 = 100 - P
2P = 308 ---> P = 154 (V)
Substituindo (V) em (II):
Q = 100 - 0,5 * (154) = 100 - 77 = 23.
Gabarito B
Fala pessoal! Tudo beleza com vocês? Professor Jetro
Coutinho na área, para comentar esta questão sobre estruturas de mercado.
Bom, a questão nos pede a quantidade a ser produzida para que o monopolista maximize o lucro. A maximização ocorre quando a Receita Marginal for igual ao Custo Marginal.
O custo marginal é a derivada do custo total, que a função nos deu. Assim:
CT = 20 + 16Q + 2Q2
Aplicando a regra do tombo:
Cmg = 16 + 4Q
Agora, vamos encontrar a Receita marginal. A receita total é dada por RT = P.Q
Como a questão nos deu a função demanda, basta substituirmos na Receita Total e, depois derivarmos.
Mas como o custo marginal é em função de Q, precisamos inverter a função demanda.
Como Q = 100 - P/2, vamos passar o 100 para o outro lado, diminuindo.
Q - 100 = -P/2
Agora, vamos passar o 2 multiplicando:
2 (Q - 100) = -P
2Q - 200 = -P (multiplicando por -1)
P = 200 - 2Q
Vamos substituir isso na função RT. Ficará assim:
RT = (200 - 2Q).Q
RT = 200Q - 2Q2
Derivando para encontrar a Receita Marginal pela regra do tombo, teremos:
Rmg = 200 - 4Q
Agora, vamos igualar Rmg e Cmg:
Rmg = Cmg
200 - 4Q = 16 + 4Q
200 - 16 = 4Q + 4Q
184 = 8Q
Q = 184/8 = 23
Portanto, quando Q = 23, a Rmg é igual ao Cmg, o que significa que o lucro será maximizado.
Gabarito do Professor: Letra B.