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Temos a seguinte sequência: ( x/q, x, x.q)
onde: q é a razão da P.G. e x é o tempo de serviço do segundo servidor
A questão diz que a média aritmética do tempo de serviço dos três servidores é igual a 7anos, então:
(x/q+x+x.q)/3=7
Logo: x/q+x+x.q=21 (I) Equação
O enunciado também fala que: "a média geométrica entre o menor e o maior tempo de serviço é 6 anos"
Ele afirma com isto que x=6, pois se fizermos a média geométrica da sequência dada (x/q (menor), x, x.q (maior)) obteremos o valor de x.
Substituindo x=6 na equação (I):
6/q+6+6.q=21
6/q+6.q=21-6
6/q+6.q=15 ( o mmc aqui será q)
6+6q^2=15q( dividindo tudo por 3)
2+2q^2=5q (equação simplificada)
2q^2-5q+2=0( Equação completa do 2°grau) Aqui vamos encontrar a razão da P.G
Delta= (-5)^2-4.2.2
Delta=25-16
Delta=9
q=2 ou q=1/2 Substituindo na sequência:
para q= 2
(x/q, x, x.q)
(6/2, 6, 6.2)
(3, 6, 12)
para q= 1/2
(6/1/2, 6, 6.1/2)
(12, 6, 3)
Analisando a sequência, vemos que o maior tempo de serviço(12anos) é superior a 10 anos.
Então a questão está correta.
Fé!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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Parabéns Marcos Paulo pela excelente explicação
Só para somar, vou colocar a definição de média geométrica que eu peguei no site wikipedia:
"Na matemática, a média geométrica de um conjunto de números positivos é definida como o produto de todos os membros do conjunto elevado ao inverso do número de membros. Indica a tendência central ou o valor típico de um conjunto de números usando o produto dos seus valores (diferente da média aritmética, que usa a soma dos valores). A média geométrica é definida como n-ésima raiz (onde n é a quantidade de termos) da multiplicação dos termos."
Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9dia_geom%C3%A9trica
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A questão exige o conhecimento dos conceitos de média aritmética, média geométrica e de propriedades de progressões geométricas.
Vamos considerar que o tempo de serviço dos 3 servidores são, respectivamente, iguais a S1, S2 e S3.
A média geométrica entre S1 e S3 é 6. Portanto, a raiz quadrada da multiplicação S1 x S3 é igual a 6. Assim, S1 x S3 = 36.
Quando temos uma PG de 3 termos, o quadrado do termo central é igual à multiplicação dos outros 2. Portanto, S2² = S1 x S3. Vimos acima que o resultado dessa multiplicação é 36. Assim, S2² = 36 --> S2 = 6.
Achamos o valor de S2, agora vamos achar S1 e S3.
Como S2 é 6, S1 será igual a 6 dividido pela razão da PG e S3 será igual a 6 multiplicado pela razão da PG (chamamos a razão da PG de "q"). Assim:
S1 = 6/q ; S2 = 6q
Sabemos que a média aritmética entre os 3 termos será 7, portanto:
(S1 + S2 + S3)/3 = 7
Vamos representar essa equação por meio da outra notação que encontramos:
(6/q + 6 + 6q)/3 = 7
Desenvolvendo essa equação, cairá em uma equação do 2º grau. Resolvendo a equação, chegamos nas raízes 2 e 1/2.
Podemos facilmente verificar que só a raiz 2 atende ao enunciado da questão.
Assim, S1 = 6/2 --> S1 = 3 ; S2 = 6x2 --> S2 = 12
Portanto, a PG é (3, 6, 12).