SóProvas

ID
348238
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
IPAJM
Ano
2010
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

Os 120 alunos que iniciaram o curso de administração de uma universidade contrataram os serviços de uma empresa organizadora de eventos para preparar a festa de formatura da turma ao final do curso. Para se resguardar de possíveis prejuízos com reprovação ou desistência de alunos, o contrato previa que cada formando que participaria da festa pagaria à empresa a quantia de R$ 3.000,00, acrescido de R$ 50,00 para cada colega que, por qualquer motivo, não participasse da festa.

A partir da situação hipotética apresentada acima, assinale a opção correta, considerando que x dos 120 alunos participarão da festa de formatura.

Alternativas
Comentários
  • X--> alunos que vão participar da festa
    y--> alunos que não vão participar

    x+y=120 => y = 201-x
    valor q cada aluno vai pagar = 3000 + 50y
    valor total da festa = x(3000 + 50 y)  = x(3000 +50(120-x))= x(3000+6000 - 50x)= 9000x-50x²

    letra a  --> valor que cada aluno vai pagar = 3000 + 50x40=5000

    letra b --> 3000 + 50y é decrescente

    letra c--> 9000x-50x²=360000 --> equação de 2º dois resultados possíveis

    letra d--> 9000x-50x² a<0 à concavidade para baixo

    letra e--> valor total da festa = 9000x-50x² à valores máximos (-b/2a, -delta/4a)  à  valor máximo da festa = - (b²-4ac)/4ª = -(9000²- 4(-50)(0))/4(-5) = 81000000/200= 405.000
  • pq na letra c o valor mudou de 3,000 para 9,000
    não entendi????
  • Não entendi!

    ALGUÉM PODE EXPLICAR MELHOR? ONDE TIROU R$ 3000,00 para R$ 9000,00.

    Desde já agradeço.

  • Vamos lá, primeiro precisamos estabelecer algumas coisas para trabalharmos:
    X - número de alunos que vão participar da festa
    Y - número de alunos que não vão participar da festa
    Z - custo total da festa;
    X + Y = 120 -> X = 120-Y

    Pois bem, teremos então que, para cada aluno que vai participar da festa e de acordo com o que foi acordado com a empresa:
    3000 + 50Y (lê-se, 3000 para cada um que vai participair + 50 para cada aluno que não vai participar, ok?)
    Se teremos X alunos que vão participar, o custo da festa (Z), será:

    Z = X [3000 + 50Y] (lê-se o mesmo do acima do acima, porém, multiplicado por Y, que resultará no total pago à empresa e consequentemente no total pago pela festa)
    Porém, sabemos que Y = 120 - X, certo? Aplicando isso à equação acima, teremos uma função em função de uma única variável (X).

    Z = X [3000 + 50 (120 - X)] 
    Resolvendo o parentêsis e depois o conchete, teremos rapidamente:
    Z = 9000X - 50X2 (Ou seja, para o cálculo do custo da festa em função dos desistentes, teremos uma função de segundo grau com a concavidade voltada para baixo, uma vez que o termo de maior grau tem o sinal negativo).
    A partir daí fica menos complicado:
    (CONTINUA)
  • a) [ERRADA] Se 40 alunos não participarem (X), teremos um valor de Z = 9000x40 - 50.(40)2 = 280.000 (Este será o valor da festa)
    Quem paga por ele? Quem vai participar, ou seja, 80 bravos lutadores, que pagarão, cada: 280.000/80 = 3500 (Ou seja, menos que 6.000)
    b) [ERRADA] Temos a equação que calcula o custo total da festa: Z = 9000X - 50X2. Se dividirmos o custo total da festa pela quantidade de pagantes (X) teremos o custo total de cada um certo? Temos então que dividir ambos os termos da equação por X.
    (Não consegui colocar o demonstrativo da equação) - Deverá ser obtido, após simplificar o X do lado direito da equação:
    Z/X = 9000 - 50X Isto é uma equação de primeiro grau, porém, decrescente. Lógico, quanto mais pessoas estiverem formando, mais próximo estaremos dos 3000 originais. Não se preocupem com o 9000, está aí em função dos acertos matemáticos da equação, ok? Seria 3000 se não tivéssemos X e sim Y.
    c) [ERRADA] Essa da pra matar sem contas. Vejam bem, se temos uma equação Z = 9000X - 50X2 e subistituirmos Z pelo custo Z=360.000 teremos uma perfeita equação de segundo grau com o termos de primeiro grau diferente de 0. Logo, a equação terá 2 raízes, e sim, uma delas é 120.
    d) [ERRADA] Como já vimos antes Z = 9000X - 50X2 é uma equação de segundo grau, porém, sua concavidade está para baixo.
    e) [CERTA] Nessa precisamos usar um pouco a cabeça. Se a equação tem a concavidade para baixo, ela tem um máximo e precisamos achá-lo para saber a resposta. Se você for um matemático, pederá aplicar a derivada e rapidamente terá a reposta, porém, vamos usar as consagradas fórmulas x= -b/2a e y = -Δ/4a
    Rapidamente (se vocês se lembram o que é a, b e Δ nas equações de segundo grau) é possíveis calcular que y (reparem que ele é diferente de Y que representa a quantidade de alunos que não vão participar da festa, ok? Neste caso será o valor máximo do custo da festa) será: y = 405.000
    Se vocês não entenderam essa letra e, revisem equações de segundo grau e se familiarizem com a,b e Δ. Sem isso não da nem pra começar a brincar.
  • De acordo com o enunciado o candidato deve notar que trata-se de uma questão de Função Polinomial do 2º grau. Inicialmente descobre-se a função e posteriormente analisa-se as opções dadas.
    Sendo assim:
    considerando y o número de alunos que não participarão da festa, a soma com os x que participarão é 120.
    x + y = 120 eq I

    A quantia total Q paga à empresa é dada pela função:

    Q = x (3000 + 50y) eq II

    Substituindo, tem-se:

    Q = x (3000 + 50 (120 - x))

    Q = x (3000 + 6000 - 50x)

    Q = - 50x² + 9000x

    Analisando as opções dadas:

    A) Se 40 alunos não participarem da festa, então a despesa com a empresa de eventos para cada um daqueles que participar será superior a R$ 6.000,00.

    Opção errada, pois cada aluno pagará: 3000 + 50 . 40 = R$ 5.000,00

    B) A função, em termos da variável x, que descreve a despesa de cada um dos alunos que participarão da festa é uma função polinomial do 1.º grau, crescente.

    Opção errada, pois a função é decrescente, a saber:

    f = 3000 +50y

    f = 3000 + 50 (120 - x)

    f = 3000 + 6000 - 50x

    f = 9000 - 50x

    C) A empresa receberá a quantia de R$ 360.000,00 somente se todos os 120 alunos participem da festa.

    Opção errada, pois se 60 alunos participassem a empresa também receberia a quantia dada.

    Q = - 50x² + 9000x

    360000 = - 50x² + 9000x

    - 50x² + 9000x - 360000 = 0

    Resolvendo a equação tem-se que x pode ser 60 ou 120.

    D) A função que descreve, em termos da quantidade de participantes da festa, a quantia que a empresa receberá dos alunos é uma função polinomial do 2.º grau, com concavidade para cima. Opção errada, pois a concavidade é para baixo visto que o termo que acompanha a variável ao quadrado (x²) possui sinal negativo.

    E) O valor máximo que a empresa poderá receber dos alunos é igual a R$ 405.000,00.

    Opção correta. O máximo da função é dado por -Δ/4a , considerando a função ax² + bx + c , tem-se que Δ = b² - 4ac Como a função é -50x² + 9000x, tem-se:

    Máximo = - (9000² - 4.(-50).0) / 4 (-50) = 81000000 / 200 = 405000

    Resposta E)
  • Muito obrigado, professor, Gabriel Rampini.