SóProvas

ID
3509653
Banca
FUVEST
Órgão
USP
Ano
2019
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

A função E de Euler determina, para cada número natural ݊n, a quantidade de números naturais menores do que ݊n cujo máximo divisor comum com ݊n é igual a 1. Por exemplo, E (6) = 2 pois os números menores do que 6 com tal propriedade são 1 e 5. Qual o valor máximo de E (n), para ݊n de 20 a 25?

Alternativas
Comentários

  • A questão quer saber qual o número (n), {(n) | 20 <= n <= 25} em que E (n) = maior quantidade possível.

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    A resposta (n) será o único número primo dentro daquele intervalo, ou seja o número 23, possuindo os 22 números naturais anteriores como resposta à questão.

    mdc(23,1)=1

    mdc(23,2)=1

    mdc(23,3)=1

    mdc(23,4)=1

    mdc(23,5)=1

    .

    .

    .

  • Se um numero, de um par, é primo, podemos dizer que estes dois números são "primos entre si", ou seja, o MDC entre eles é 1.

    a questão pede a análise de n entre 20 e 25. Então começamos...

    E(20)= MDC de 20 com 1,2,3,4,5,6... até o 19.

    como queremos o número de "primos entre si" e o 20 não é primo, o outro precisa ser primo. De 1 a 19 temos 8 primos (2,3,5,7,11,13,17,19), por isso, E(20)=8 (bem abaixo das alternativas);

    fazemos o mesmo para E(21)=MDC de 21 com 1,2,3,4,5....até o 20.

    mas 21 também não é primo, então o caso é semelhante ao acima, exceto pelo MDC(20e21) que não é 1 (não são primos entre si), então E(21) também é 8.

    Assim, sucessivamente.

    O cenário muda com n=23 pois 23 é primo, então são primos entre si, 23 com 1, com 2, 3, 4....até com o 22, portanto são 22 primos entre si e então E(23)=22, alternativa C, pois seguindo essa ideia, n=24 e n=25, por não ser primos, terão E valendo apenas 9..

  • Muito bom, Ciro. Só faltou um detalhe: não precisa ser primo para ser "primo entre si" com o número. Por exemplo, o 20 é primo entre si com o 9 e com o próprio 1, mas 9 e 1 não são primos. Do mesmo modo, você não poderia ter considerado o 2 e nem o 5, já que eles são primos, porém não são primo entre si com o 20 (já que 20 é divisível por 2 e por 5 também). Então o E(20) acaba sendo 8, adicionando o 9 e o 1 + removendo o 2 e o 5. Abraço!

    OBS.: Dê uma olhadinha na questão Q637450

  • https://www.curso-objetivo.br/vestibular/resolucao_comentada/fuvest/fuvest2020_1fase.asp?img=01