Primeiramente, encontra-se a interseção da reta com a parábola por meio do sistema de equações.
A equação da parábola é: ......................y = 2x² +1
A equação da reta é: y-x = k, ou seja,.... y = k + x
Resolvendo este sistema, temos:
2x² +1 = k + x
2x² - x + 1 - k = 0
Aplicamos a fórmula de Bháskara :
x = ( -b ± √Δ ) / 2a , onde Δ = b² - 4ac
Então:.. Δ = 1² - 4.2.(1-k)
............Δ = 1 - 8.(1-k)
............Δ = 1 - 8 + 8k ~~~~~~~> Δ = 8k - 7
Agora, observemos que :
1º) Se Δ > 0 , teremos 2 raízes ou 2 pontos de interseção da reta com a parábola e, daí, a reta será secante à parábola.
2º) Se Δ < 0 , não existirá raízes ou pontos de interseção da reta com a parábola e, daí, a reta não cortará a parábola.
3º) Se Δ = 0 , existirá 2 raízes IGUAIS (ou ainda, uma única raiz ou ponto de interseção da reta com a parábola) e, daí, a reta cortará a parábola em apenas um ponto, ou seja, ela será tangente à parábola.
Logo:
Δ = 0
8k - 7 = 0
8k = 7 ~~~~~~~~~> k = 7/8
RESPOSTA: k está entre 0 e 1.